证明y=sinx的弧长为x^2+2y^2=2的周长相等
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y=sinx y'=-cosx
ds=√(1+y'^2)dx
y=sinx弧长为
∫[0,2π]√[1+(cosx)^2]dx
椭圆
2x^2+y^2=2
x^2+y^2/2=1
x=cosθ,y=√2sinθ
dx=-sinθ dy=√2cosθ
ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√[(sinθ)^2+2(cosθ)^2]dθ=√[1+(cosθ)^2]dθ
椭圆周长
∫[0,2π]√[1+(cosθ)^2] dθ
因此y=sinx [0,2π]弧长等于椭圆2x^2+y^2=2周长
ds=√(1+y'^2)dx
y=sinx弧长为
∫[0,2π]√[1+(cosx)^2]dx
椭圆
2x^2+y^2=2
x^2+y^2/2=1
x=cosθ,y=√2sinθ
dx=-sinθ dy=√2cosθ
ds=√[(dx)^2+(dy)^2]=√[(sinθ)^2+2(cosθ)^2]dθ=√[1+(cosθ)^2]dθ
椭圆周长
∫[0,2π]√[1+(cosθ)^2] dθ
因此y=sinx [0,2π]弧长等于椭圆2x^2+y^2=2周长
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