Question

方程-m^4+4m^2+2^n·m^2+2^n+5=0 的正整数解有----组

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 正确答案是A项，请各位帮忙一下!
因式分解得到了（-m^2+2^n+5）(m^2+1)=0 ，推出 2^n+5=m^2 然后怎么做呢？

Answer 1

解：
-m^4+4m^2+2^n·m^2+2^n+5=0
（-m^2+2^n+5）(m^2+1)=0
m^2+1恒>0，因此只有-m^2+2^n+5=0
m^2=2^n+5
等式右边为奇数，则m应为奇数。令m=2k-1
(2k-1)^2=2^n+5
4k^2-4k=2^n+4
k^2-k-1=2^(n-2)
k^2与k同为奇数或偶数，k^2-k为偶数，k^2-k-1为奇数，要等式成立，只有2^(n-2)为奇数，只有当n=2时，2^(2-2)=2^0=1，为奇数，n取其余正整数时，2^n均为偶数。此时m^2=2^2+5=9 m=3
满足题意的正整数解仅有一组，m=3 n=2
选A

Answer 2

2^n+4=m^2-1
2^2[2^(n-2)+1]=(m+1)(m-1)
由于m+1与m-1同奇偶，因此m+1与m-1都是偶数
又m+1与m-1相差2，其中必有一个是2的倍数而另一个是4的倍数，即(m+1)(m-1)是8的倍数
而2^2[2^(n-2)+1]仅当2^(n-2)+1=2时是8的倍数，即n＝2，m＝3时，原方程有唯一一组正整数解