Question

如图,已知直角梯形ABCD中,角A等于角B等于90°，设AB=a,AD=b,BC=2b,过点D作DE⊥CD，DE交AB于E，连接EC。

如图,已知直角梯形ABCD中,角A等于角B等于90°，设AB=a,AD=b,BC=2b,过点D作DE⊥CD，DE交AB于E，连接EC。

（1）求证：△DCE∽△AED。

（2）AB满足什么条件时，△DCE∽BEC。

Answer 1

（1）作DF⊥BC于F，∠CDF＝90°-FDE＝∠DEA→△FCD∽△AED
AD/DF＝AC/FC→b/a=AE/b→AE＝b2/a
CD=√(DF2+FC2)= √(a2+b2)
DE=√(AD2+AE2)= √[b2+ (b2/a)2]＝√[（a2+b2）b2/a2]= b/a*√（a2+b2）
CD/AD=√(a2+b2)/b
DE/AE=[b/a*√（a2+b2）]/( b2/a)= √(a2+b2)/b
即CD/AD= DE/AE，∠CDE＝∠A＝90°，故△DCE∽△AED
（2）要△DCE∽BEC，心需∠CEB＝∠CED，因△DCE∽△AED即∠CED＝∠DEA
因此∠CEB＝∠CED＝∠DEA＝180°/3＝60°→∠ADE=30°
sin∠ADE=AE/DE=1/2→(b2/a)/[b/a*√（a2+b2）]=1/2→b/√（a2+b2）=1/2→a=(√3)b