Question

如果f和g是凸函数，那么max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x)也是凸函数

Answer 1

）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凸函数. 判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数 一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上恒大于等于0，就称为凸函数。（向下凸） 如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数。
编辑本段性质
定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。 一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。 一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x)。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最小值。 一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。 更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。 凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。 对于凸函数f，水平子集和（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。 延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果X是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么（在这里，E表示数学期望。）
编辑本段微积分
如果f和g是凸函数，那么m(x) = max和h(x) = f(x) + g(x)也是凸函数。 如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x))是凸函数。 凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x)是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b)也是凸函数，其中 如果f(x,y)在(x,y)内是凸函数，且C是一个凸的非空集，那么在x内是凸函数，只要对于某个x，有。
编辑本段例子
函数f(x) = x²处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。 绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。 当1 ≤ p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。 定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数，在x ≤ 0的集合上是凹函数。 每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么f(a + b) = f(a) + f(b)。如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。 每一个在内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如f(x) = aTx + b的函数，既是凸函数又是凹函数。 每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。 如果f是凸函数，那么当t > 0时，g(x,t) = tf(x / t)是凸函数。 单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x)。 非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = − x。 函数f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在区间(0,+∞)内是凸函数，在区间(-∞,0)内也是凸函数，但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点