Question

设数列｛an}满足a1+3a2+3^2a3+...+3^n-1an=n/3,求（1）数列{an}的通项公式（2）设bn=n/an求数列bn的前n项

Answer 1

a1+3a2+3^2a3+...+3^n-1an=n/3
a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3
两式相减可得：
3^(n-1)an=1/3
所以：
an=1/3^n
bn=n/an=n*3^n
用错位相减法：
令Sn=b1+b2+......+bn
=1*3^1+2*3^2+......+n*3^n
3Sn= 1*3^2+......+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
两式相减可得：
-2Sn=3+3^2+......+3^n-n*3^(n+1)
=(-3/2)*(1-3^n)-n*3^(n+1)
=-3/2+(1/2-n)*3^(n+1)
所以
Sn=3+(2n-1)*3^(n+1)

Answer 2

a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3
a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)*an+3^n*a(n+1)=(n+1)/3
以上两式相减得
3^n*a(n+1)=1/3
所以a(n+1)=1/[3^(n+1)]
所以an=1/(3^n)

bn=n/a^n
sn=1/a+2/a^2+3/a^3+……+n/a^n
(1/a)sn=1/a^2+2/a^3+……+n/a^(n+1)
(1- 1/a) sn=1/a+1/a^2+1/a^3+……+1/a^n-n/a^(n+1)
(1- 1/a) sn=(1+1/a^n)/(a-1)-n/a^(n+1)
sn=...
（错位相减法）

Answer 3

（1）：由已知得：
a1+3a2+3^2a3+...+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3
与原式差为：
3^(n-1)an=1/3
所以：
an=1/3^n

（2）：
直接带入an得
bn=n/an=n×3*n

Answer 4

a1=1/3; a1+3a2=2/3 =>a2=1/9 =1/3^2
a1+3a2+9a3=1=>a3=1/27=1/3^3
a1+3a2+9a3+27a4=4/3 => a4=1/81=1/3^4
........=>an=1/3^n.....(1)

bn=n/(1/3^n)=n*3^n
Sn=3+2*3^2+3*3^3+4*3^4+...+n*3^n
3Sn= 3^2+2*3^3+3*3^4+...+(n-1)*3^n +n*3^(n+1)
---------------------------------------------------
-2Sn=3+3^2+3^3+3^4+...+3^n - n*3^(n+1)=3(1-3^n)/(1-3) - n*3^(n+1)
=>Sn=(3/4)(1-3^n)+n*3^(n+1)/2.....ans

Answer 5

an=1/3的n次方