Question

一道很难的数学题：

给定二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）证明：方程F（x）=x的根也一定是方程f(f(x))=x的根
（2）找出方程f(f(x))=x有4个不等实数根的充要条件。

这一题主要是第二问比较困难，还请各位数学高手前来解答。可以讨论QQ810749057

Answer 1

第一问就不解了，第二问给楼主点思路，由第一问可知只要ax2+bx+c=x有2不等实根x1，x2， 那么复合之后的函数必然也有这2个根，所以只要使f(x）=x1，f（x）=x2，有2个不同的实根即可，那么条件就是f（x）=x有2个不同实根，f（x）=x1，f（x）=x2 均有2个不同实根（注意x1，x2 可用a，b，c表示出来）。这3个条件复合一下应该就是题目的解答了

Answer 2

四边形AB=BC=CD，PQ、PS是自P得到的分别平行于AB和BC的线段
且有 PQ:AB=DP:DB=PS:BC
所以，平行四边形PQRS是菱形
若∠ABD=90°，设 CR与BD交于M，
∵ AB//CR
∴ CR⊥BD，又∠CBD=∠CDB，则三角形BDC为等腰直角三角形
CR垂直平分BD
∠BCM=∠DCM=45°
∵ AB=AR=CR=CD
∴ △ABR≌△CRD;
（2） 由（1）知 ，∠ARB=∠BRC=∠CRD
所以，若四边形PRDS也是平行四边形
∠ARB=∠BRC=∠CRD=180°/3=60°
即R要落在AD边上，此时，∠CDA=60°，而且AD//BC
故，满足∠CDA=60°，AD//BC
四边形PRDS就也是平行四边形