Question

如图,抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，点A,C分别在x轴，y轴上，且BC‖x轴，AC=BC。

若点M是抛物线的对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△MAB为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标
有三种情况
我已经求出了两种（AB=BM、AM=AB）希望大家能够帮我求出（AM=BM）这第三种情况是M的坐标
谢谢

Answer 1

解：
令x=0 y=4，C点坐标(0，4)
设A(x，0)
BC=√(x²+4²)=√(x²+16) B点坐标(√(x²+16)，4)
A、B两点均在抛物线上，纵横坐标满足抛物线方程。
ax²-5ax+4=0
a(x²+16)-5a√(x²+16)+4=4
解得x=-3 a=-1/6
函数方程为y=-x²/6+5x/6+4=(-1/6)(x²-5x-24)=(-1/6)(x-5/2)²+121/24
对称轴x=5/2
点A坐标(-3，0)，点B坐标(5，4)
设点M坐标(5/2，y) (y<0)
MA²=(5/2+3)²+(y-0)²=y²+121/4
MB²=(5/2-5)²+(y-4)²=y²-8y+89/4
AB²=(5+3)²+(4-0)²=80
若三角形是等腰三角形，存在如下三种情况：
(1)
MA=MB MA²=MB²
y²+121/4=y²-8y+89/4
解得8y=-8 y=-1
(2)
MA=AB MA²=AB²
y²+121/4=80
解得y=√199/2（舍去）或y=-√199/2
(3)
MB=AB MB²=AB²
y²-8y+89/4=80
整理，得
y²-8y+16=295/4
(y-4)²=295/4
y=4+√295/2（舍去）或y=4-√295/2
综上，满足条件的M点共有3个，坐标分别为(5/2，-1)，(5/2，-√199/2)，(5/2，4-√295/2)。