Question

三角形ABC内接于圆O，AD垂直BC于D，并延长AD交圆O于E，BF垂直于AC于F交AD于H

求DH＝DE
若角BAC＝45，AH＝4，求圆O的半径

Answer 1

连接EC，EC为圆O的一个弦，∠CAE和∠CBE为同圆EC弦的圆周角，所以∠CAE=∠CBE，三角形AHF和三角形BDE分别为直角三角形，所以，∠BED=∠AHF=∠BHD，所以BH=BE，三角形BEH为等边三角形，BD垂直HE，所以，HD=DE。
因为∠BAC=45度，所以直角三角形ABF为等腰直角三角形，AF=BF，∠ACB和∠AEB为弦AB的圆周角，所以，∠ACB＝∠AEB＝∠BHD＝∠AHF，可证直角三角形AFH全等于直角三角形BFC，所以AH=BC=4，BC所对圆周角为45度，那么所对圆心角为90，设半径为X，BC和圆心组成等边直角三角形，BC=√2X=4，X=2√2。