Question

若直角三角形的面积等于其周长，则这样的直角三角形有多少个？

请解释，不要只给答案

Answer 1

直角三角形的三边都是整数吧？否则有无数个.
= = = = = = = = =

解：设直角三角形两直角边为a,b, (a≤b),
则 斜边为 √(a^2+b^2).

由已知,
(1/2)ab =a +b +√(a^2+b^2),
即 2√(a^2+b^2) =2(a+b) -ab,
即 4(a^2 +b^2) =4(a+b)^2 -4ab(a+b) +(ab)^2,
即 8ab -4ab(a+b) +(ab)^2 =0.
即 ab [ 8 -4(a+b) +ab ] =0.

又因为 ab>0,
所以 8 -4(a+b) +ab =0.
即 (ab -4a) -(4b -16) -16 +8 =0,
即 (a-4) (b-4) =8.

又因为 a,b 为整数, 且 b ≥a ≥1,
所以 b-4 ≥ a-4 ≥ -3.
所以 a-4 =1, b-4 =8,
或 a-4 =2, b-4 =4.
解得 a=5, b=12,
或 a=6, b=8.

所以 直角三角形三边为
6,8,10
或 5,12,13.
共两个.

= = = = = = = = =
由 8 -4(a+b) +ab =0.
得出 (a-4) (b-4) =8.
这个是关键.
因为要求整数解.

Answer 2

参考这个吧，挺详细的
即:a+b-c=4
所以满足上述条件的直角三角形

追问

一个吗