Question

若函数f(x)=|sinx|的图像与过原点的直线有且只有三个交点,交点中横坐标的最大值为α,则 {(1+α^2)sin2α}/

若函数f(x)=|sinx|的图像与过原点的直线有且只有三个交点,交点中横坐标的最大值为α,则
{(1+α^2)sin2α}/α = ———

答案是2 求步骤~

Answer 1

根据图像可知，此直线在x=α处与y=|sinx|相切，π<α<2π，f(x)=-sinx
f'(x)=-cosx 所以切线方程为y+sinα=-cosα(x-α)它经过原点，所以sinα=αcosα α=tanα
所以sin2α=2tanα/(1+tan²α)=2α/(1+α²)
原式=2

Answer 2

y = kx 与f(x)=|sinx| 先交由三个点
即y = kx 与f(x)=|sinx|相切于 x = a，y = -sina 这个点上(pai 和 3pai/2间)
该点的导函数 y' = (-sinx)' = - cosx 令x = a，切线斜率 k = -cos a
直线斜率 k = -sina/a
所以sina = a cosa

{(1+α^2)sin2α}/α = {(1+α^2)2sinα cosa}/α
2(cosa cosa+α^2 cosa cosa)sina / αcosa
2(cosa cos a + sin a sina ) acosa / acos a
2*1*1/1 =2

Answer 3

易知，此时应有tana=a.∴1+a²=1+tan²a=1/cos²a===>(1+a²)sin2a=2sinacosa/cos²a=2tana=2a.====>[(1+a²)sin2a]/a=2