Question

任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？ 过程

Answer 1

假设这四个自然数是A、B、C、D

先来考察这四个自然数中后三个减去A的差：B-A、C-A、D-A，若其中都没有3的倍数，则这三者除以3的余数只能是1或者2；

根据抽屉原则，这三者除以3的余数中至少有两个是相同的，不妨假设B-A和C-A除以3的余数相同；

那么可令B-A=3m+k，C-A=3n+k，(其中k是余数1或2，m、n是整数)，
则有：C-B=(C-A)-(B-A)=(3n+k)-(3m-k)=3(n-m)，是3的倍数。

综上分析可知：这四个自然数中至少有两个数的差是3的倍数。

Answer 2

<1>4个不同的自然数，那么把他们都除以3，会得到4个余数。

一个自然数与3相除，得到的余数的可能性为0，1，2 共3种可能

那么在4个余数中，至少有2个余数是相同的，即至少有两个数的差是3的倍数
<2> 所有自然数被3除，余数有0（即能整除的，是3的倍数），1，2，三种可能，可分别做成3个抽屉。那么所有的自然数按被3除的余数情况，都可以放在这3个抽屉里，任意取4个数，必有2个数是出自同一个抽屉，即这2个数被3除的余数相同，那么它们的差一定能被3整除，就是3的倍数。

Answer 3

4个自然数除以3有2种情况，一是整除，余数0；二是余数是1或2，如果其中三个自然数余数分别是0，1，2，那么第4个自然数除以3自然就会余数相等，而这两个自然数的差就是3的倍数了。（不要嫌长，准确回答是没有长短的！）

Answer 4

首先：任何一个正整数除以3所得的余数只有3种情况：余0（整除）、余1、余2.

所以对于任意的四个正整数A、B、C、D除以3最多可以有3个不同的余数（1).不妨设ABC余数各不相同，那么第四个数D除以3的余数只能是0、1、2中的一个余数，这样就和ABC中的一个余数相同（比如A），那么D-A就是3的倍数.
(2).假设ABC中存在两个数除以3所得余数相同（不妨设是AB)，那么A-B就是3的倍数.
综上所述，任意4个自然数,至少有两个数的差是3的倍数.

Answer 5

假设第一个数为A,如果和面三个数是3的倍速，则说明以解。如果说后面三个数与第一个数的差不是3的倍数，那么分别假设为B-A=3n+1（或者加2），如果第三个数与第一个数的差不是三的倍数，那么C-A只能等于：C-A=3n+1或者C-A=3n+2.显然，如果C-A=3n=1，那么C-B=（C-A）-（B-A）=3n+1-3n+1,那么得出的结果一定是三的倍数。如果说C-A=3n+2，就看第四个数。同理，如果D-A=3n，那么这道题就完了，如果D-A不等于3n,那么无论结果是3n+1还是3n+2，与B或C 的差都会有一个是3n的。
第一次见到这道题，有没有对楼主有帮助？