Question

若函数f(x)=√(ax^2+4ax+3)的值域[0,+∞），求实数a的取值范围？

详细一点，尤其是a≠0时，△为什么大于等于0,已经a≠0的分类

Answer 1

令g(x)=ax^2+4ax+3
∵f(x)=√(ax^2+4ax+3)的值域[0,+∞）
∴必须是g(x)=ax^2+4ax+3的值域必须涵盖值域[0,+∞）

当a=0时，g(x)=3，不符合值域涵盖[0,+∞）的要求
∴a≠0

当a＜0时，g(x)开口向下，g(x)的值域也不能涵盖[0,+∞）
∴a≮0

当a＞0时，g(x)开口向上，g(x)必须与x轴有交点，g(x)的值域才能涵盖[0,+∞）
判别式△ ≥ 0
(4a)^2-4×a×3 =16a^2-12a = 4a(a-3) ≥ 0
a ≥ 3

【为什么△≥0，而不是△＝0】
因为本题的关键是条件为【f(x)值域是[0,+∞）】而不是【定义域x∈R】也不是【g(x)值域是[0,+∞）】
如果是条件为【定义域x∈R】，那么做法就是a＞0，并且△=0
正因为条件为【值域是[0,+∞）】，那么对g(x)=ax^2+4ax+3的要求就是【g(x)值域涵盖而不是等同[0,+∞）】，换句话说，g(x)=ax^2+4ax+3的值域最小范围是[0,+∞），但也可以超出这个范围。

追问

g(x)=ax^2+4ax+3的值域最小范围是[0,+∞），但也可以超出这个范围。什么是也可以超出这个范围，如果超出这个范围是多少？还有你上面算错了呵呵 ：(4a)^2-4×a×3 =16a^2-12a = 4a(4a-3) ≥ 0
a ≥ 4/3

追答

f(x)的值域[0，+∞）
f(x)=根号{g(x)}
那么g(x)的值域必须保证涵盖（包含）[0，+∞）才行。

当a＞0时，g(x)开口向上，必须保证g(x）的图像与x轴至少有一个交点。
当g(x)与x轴无交点时，g(x）的最小值大于0，所以f(x)=根号{g(x)}的最小值取不到0，所以不符合要求；
当g(x)与x轴只有一个交点时，g(x）的最小值大于0，所以f(x)=根号{g(x)}的最小值0，判别式=0符符合f(x)的值域[0，+∞）的要求；
当g(x)与x轴有两个交点时，g(x）的最小值小于0，从定义域的角度，在x轴下方的那部分不在定义域内，这没关系，本题的关键是值域，只要g(x)能够满足f(x)=根号{g(x)}值域[0，+∞）即可。g(x)在x轴以上（部分）恰能满足f(x)的值域[0，+∞）的要求。所以判别式＞0也符合要求f(x)的值域要求。

判别式△ ≥ 0
(4a)^2-4×a×3 =16a^2-12a = 4a(4a-3) ≥ 0
a ≥ 3/4

Answer 2

解析：只要“a>0且△≥0”即可。
原因：当a>0且△≥0时，二次函数y=ax^2+4ax+3的图像为开口向上，且与x轴有交点的抛物线，重点是其值域包含[0,+∞），这使得ax^2+4ax+3加根号后的函数f(x)，其值域仍然包含[0,+∞），且负函数值自动排除出值域（由定义域排除），故值域就总是[0,+∞）。

Answer 3

答案你有了吧，首先a肯定大于0，如果a=0,上式f(x)=跟下3，与值域不同，舍，
几何角度，从值域分析，必然是开口向上的抛物线，若a=0,那么f(x)为直线，直线为y=跟下3。

Answer 4

看图吧

追问

答案我有，但是意思却看不明白，a>0时，为什么△≥0，而不是△＝0

追答

要使y=ax^2+4ax+3能取到全体正实数，要求它与x轴有交点，否则它的函数值不可能取到全体正实数。