Question

跪求一道概率论题目（求分布函数的）~~~~

设X ~ N(0, 1)
1) 求Y = min {X, 1} 和 Z = max {X, 1} 的分布函数, 并且画出其简图
2) 求Y+Z 的分布函数
3) 求Y^2 (即Y的平方) 的分布函数

要详细过程，哪位好心人帮帮忙啊TAT

Answer 1

X的分布函数为Φ(x), 也就是标准正态分布函数. 注意Φ(x)不是初等函数，因此只能把它当作已知函数来表达相应的结果。

1). 当t<1时，Y≤t蕴含Y<1，此时Y=X<1. 所以P(Y≤t)=P(X≤t)=Φ(t).
当t≥1时，Y≤1≤t恒成立，所以P(Y<=t)=1.
所以Y的分布函数为分段函数：t<1时为Φ(t), t≥1为1. 图你就自己画吧……
至于Z的分布函数，求法类似，结果为：t<1时为Φ(1), t≥1为Φ(t).

2). 注意：无论X与1大小关系如何，Y+Z=1+X. 而X ~ N(0, 1) => 1+X~N(1,1). 所以Y+Z的分布函数为Φ(t-1).

3). 设W=Y^2，W的分布函数为F(t). 显然t<0时F(t)=0.
当0≤t<1时，W≤t蕴含Y<1，此时Y=X<1. P(W≤t)=P(X^2≤t)=Φ(根号t)-Φ(-根号t)=2Φ(根号t)-1.
当t≥1时，Y≤1≤根号t. 此时P(W≤t)=P(Y≥-根号t)=1-Φ(-根号t)=Φ(根号t).
所以: t<0时F(t)=0； 0≤t<1时，F(t)=2Φ(根号t)-1；t≥1时F(t)=Φ(根号t).

Answer 2

会做，但不会在电脑上画图.

追问

不画图也行，那其他部分应该怎么做呢。。。5555~~跪求答案

Answer 3

我的天哪…我画了半天居然照片传不到网上！多懂脑子，我记得那本书上面有过！