Question

急求，一道函数题（有点难）

已知，如图（百度不准上图，各位大大将就着自己画一画），一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于点A（4,0），B（0,2），以线段AB为一边作等边三角形ABC，且点C在反比例图像y=负x分之m的图像上。（原题未写明C的位置，应该有两点）
（1）求m的值
（2）O是原点，在线段OB的垂直平分线上是否存在一点P，使三角形ABP的面积等于二分之一m，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

已知，如图（百度不准上图，各位大大将就着自己画一画），一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于点A（4,0），B（0,2），以线段AB为一边作等边三角形ABC，且点C在反比例图像y=负x分之m的图像上。（原题未写明C的位置，应该有两点）
（1）求m的值
（2）O是原点，在线段OB的垂直平分线上是否存在一点P，使三角形ABP的面积等于二分之一m，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
(1)解析：∵函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于点A（4,0），B（0,2）
∴函数y=-1/2x+2
设C(x,y)
(x-4)^2+y^2=x^2+(y-2)^2==>y=2x-3, 即将AB中垂线方程
|AB|^2=4+16=20
(x-4)^2+y^2=20==>5x^2-20x+16=0==>x1=-1/2, x2=4
∴C(-1/2,-4)或C(4,5)
∵点C在反比例图像y=-m/x的图像上
∴m1=-2, 或m2=-20
(2)解析：假设在线段OB的垂直平分线上存在一点P(x,1)
当m=-20时
OB的垂直平分线与AB交点为(2,1)
∴S(⊿ABP)=1/2*(x-2)*2=x-2=-10==>x=-8
当m=-2时
∴S(⊿ABP)=1/2*(x-2)*2=x-2=-1==>x=1
存在问题：
所求出的m值，皆为负值，三角形面积不可能为负值
∴应该说，P点不存在。
以上仅供参考

追问

第一小题算错了“（x-4)^2+y^2=20==>5x^2-20x+16=0==>x1=-1/2, x2=4，”中应该是5x的平方-20x+5=0

追答

不好意思，修改如下：
(x-4)^2+y^2=20==>x^2-4x+1=0==>x1=2-√3, x2=2+√3
∴C(2-√3,1-2√3)或C(2+√3,1+2√3)
∵点C在反比例图像y=-m/x的图像上
∴m1=5√3-8, 或m2=-5√3-8
(2)解析：假设在线段OB的垂直平分线上存在一点P(x,1)
当m=5√3-8时
OB的垂直平分线与AB交点为(2,1)
∴S(⊿ABP)=1/2*(x-2)*2=x-2=5√3/2-4==>x=5√3/2-2
当m=-5√3-8时，P点不存在。
∴P点存在，P(5√3/2-2,1)。

追问

∴S(⊿ABP)=1/2*(x-2)*2=x-2=5√3/2-4==>x=5√3/2-2我不太明白。

追答

OB的中垂线平行X轴，P在中垂线上，所以然中垂线分三角形PAB为二部分，交AB于D，所以，三角形BPD和APD有公共底边PD，D(2,1)，所以PD=|x-2|，此边上的高均为1，则S(⊿ABP)=1/2*|x-2|*(1+1)=|x-2|=5√3/2-4==>x1=5√3/2-2或x2=6-5√3/2
∴P点存在，P(5√3/2-2,1)或P(6-5√3/2,1)

Answer 2

根据AB易求出k b 的值。AB:y=-x/2+2
设C (a,b) 线段|AB|= 根号下20，ABC为等边三角形， 所以C到底AB两点的距离相等均为根号下20，所以有
a^2+(b-2)^2=(a-4)^2+b^2化简得出:b=2a-3
易知C到AB的距离是根号下15
所以有|x/2+y-2|/根号下(1/4+1)=根号下15
化简得出:|a/2+b-2|=2分之5倍根号3
可以得出ab的值。C(2+根号3,2倍根号3加1)和(2-根号3，1-2倍根号3)
C点在反比例函数上，代入可以得出m值。
分别是(8-5倍根号3)<0，8+5倍根号3。
OB的垂直平分线是 y=1,可设p(x,1)
P到AB的距离为|x/2+1-2|/根号下(1/4+1)
三角形APB的面积=1/2|AB|乘以P到AB距离 题目要求=m/2,即可求出x
(m有两个，一个是负值)
太仓促了，不知道算的对不对

追问

为什么P到AB的距离为|x/2+1-2|/根号下(1/4+1)？