Question

已知a>0.b>0，且a+b=1，试用分析法证明不等式（a+1/a）（b+1/b）大于等于25/4

求详解。在线等。
怎么化吖。我不会。

Answer 1

由均值不等式
a+b≥2√ab
ab≤1/4

证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0<ab≤1/4
(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2

证法二
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
[均值不等式]
≥ab+1/ab+2
[f(x)=x+1/x在x∈(0,1]上单调递减]
≥1/4+1/(1/4)+2
=25/4
取等号时a=b=1/2
（转）

Answer 2

先化简，再设函数f（x）=x+1/x,为双勾函数，ab<=1/4,可求解。。。
希望对你有帮助，谢谢。。。