Question

如图,在梯形ABCD中，AD‖BC，角B=90°。把一个直角的顶点F放在边CD上，

如图,在梯形ABCD中，AD‖BC，角B=90°。把一个直角的顶点F放在边CD上，直角的一边经过顶点A，它的另一边与BC交于E，已知AD=2，AB=4，BC=5.CD=5
（1）FA=FE，求DF的长。
（2）如果△CEF是以CF为腰的等腰三角形，求DF的长。

Answer 1

过F作FM‖AD，交AB于M，过E作EN‖AB，交FM于N，

过D作DP‖AB，交BC于P，交FM于R，过F作FQ‖AB，交BC于Q，

∵∠AFM+∠EFN=∠AFE=90°

∴∠MAF=90°-∠AFM=∠EFN

∴△AFM∽△FEN

PC=BC-BP=BC-AD=5-2=3，△DRF∽△DPC∽△FQC

设DF=x，有RF=3/5x，QC=PC-PQ=3-3/5x

(1)∵FA=FE，∴△AFM≌△FEN，FQ=NE=MB=MR+RF=AD+RF=2+3/5x

∵△DPC∽△FQC，∴FQ/DP=QC/PC，即(2+3/5x)/4=(3-3/5x)/3

解得DF=x=10/7

(2)∵EF=FC，NF=EQ=QC=3-3/5x，AM=DR=4/5x，

且△AFM∽△FEN，∴NE/FM=NF/AM，即NE=FM*NF/AM=(2+3/5x)(3-3/5x)/(4/5x)=FQ

∵△DPC∽△FQC，∴FQ/DP=QC/PC，即(2+3/5x)(3-3/5x)/(4*4/5x)=(3-3/5x)/3

解得x=30/7

好难打啊！