Question

如图一，若△ABC与△ADE均为等边三角形，M,N分别为EB，CD的中点

当三角形ADE绕A点旋转到如图2的位置时，△AMN是否还是等边三角形？如是，请给出证明，并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请给出理由。

Answer 1

∵△ADE是正三角形
∴AD=AE，∠DAE=60度
∵△ABC是正三角形
∴AC=AB，∠CAB=60度
∴△ADC与△AEB世全等三角形
∴∠ADC=∠AEB，DC=EB
∵M,N分别为EB，CD的中点
∴DN=1/2*DC=1/2*EB=EM
∵∠ADN=∠AEM，AD=AE
∴△ADN与△AEM世全等三角形
∴AN=AM，∠DAN=∠EAM
∵∠DAE=∠DAN+∠EAN=∠EAM+∠EAN=∠MAN=60度
∴△AMN是等边三角形

当AB=2AD时，设AB=2a，AD=a。
△ABC的高是：√（2a*2a-a*a）=√3a
△ABC的面积是：2a*√3a/2 = √3a*a

同理，计算△ADE的高是：√3a/2
△ADE的面积是：a*√3a/2/2=√3a*a/4

△AEM是直角三角形，AE=AD=a，EM=△ABC高的一半 = √3a/2
AM=√（√3a/2*√3a/2+a*a）=√7a/2
计算△AMN的高是：√21a/4
△AMN的面积是：√7a/2*√21a/4/2=7√3a*a/16

∴S△ADE ：S△ABC ：S△AMN
= √3a*a/4 ：√3a*a ：7√3a*a/16
= 4 ：16 ：7

Answer 2

△AMN是等边三角形．理由如下： 5分
∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． 6分
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形． 7分
设AD=a，则AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，
∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o． 8分
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD= ．
∵N为DC中点，
∴ ， ∴ ． 9分
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN 10分
解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： 5分
∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形 7分
设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a
易证BE⊥AC，∴BE= ，
∴ ∴
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN 10分

Answer 3

解：CD=BE．
理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°．
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD．
∴CD=BE．

Answer 4

解：（1）CD=BE．理由如下:

∵△ABC和△ADE为等边三角形

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD

∴CD=BE

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，

∴BM=

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o

∴△AMN是等边三角形．

设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，

∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o．

∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=．

∵N为DC中点，

∴， ∴．

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o

∴△AMN是等边三角形

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

易证BE⊥AC，∴BE=，

∴ ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN

Answer 5

解：
（答案是，等边三角形,主要考察的是三角形全等）
△ABC和△ADE为等边三角形
得：AB=AC，AE=AD，<BAC=<EAD=60
又得：<CAD=<BAE
所以，三角形ADC与三角形AEB
得，BE=CD,<ABM=<ACN
由已知，BM/ME=CN/ND
得：BM=CN，由上知，,<ABM=<ACN，AB=AC
得，三角形ABM与三角形ACN全等
所以，AM=AN，<BAM=CAN,知<BAC=60
得，<MAN=60
所以，三角形AMN是等边三角形

Answer 6

SB