Question

已知；如图，AD是三角形ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：FD的平方=FB*FC

Answer 1

如图，  因为 AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，所以FD=FA 

 又角ADF=∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠C+∠DAC ，而 AD是三角形ABC的角平分线；

 所以∠BAF=∠C， 又∠F=∠F  ， 所以△ABF∽△CAF   ； AF/FC=FB/AF  

AF^2=FB*FC  ;DF^2=FB*FC

Answer 2

证明：连FA，有FA=FD，证△FBA∽△FAC
∠FDA=∠FAD=∠FAB+∠BAD ∠BAD=∠CAD
∠FDA=∠FCA+∠CAD= ∠FAB +∠BAD，则∠FCA=∠FAB
另∠AFB=∠CFA 所以△FBA∽△FAC（AAA）
FA：FC=FB：FA 即FD的平方=FB*FC。

追问

已知：四边形ABCD中，＜A=＜BCD=90º,，过C作对角线BD的垂线交BD,AD于点E,F求证：EF²=DF*DA