Question

高中数学均值不等式

设k、n是自然数,1≤k≤n;x1,x2,…,xk是k个正实数,且它们的和等于它们的积。求证：
x1^(n-1)+x2^(n-1)+…xk^(n-1)≥kn

已经确定可以用均值不等式
也希望解答的人可以用均值不等式解，因为我正在学的这一讲正好是有关均值不等式

Answer 1

因x1*x2*...*xk=x1+x2+...+xk≥k(x1*x2*....*xk)^(1/k)
则(x1*x2*...*xk)^(k-1)/k≥k
x1^(n-1)+x2^(n-1)+…+xk^(n-1)≥k(x1*x2*....xk)^[(n-1)/k]
≥k(x1*x2*....xk)^[(k-1)/k]
≥k^2

追问

k(x1*x2*....xk)^[(n-1)/k]≥k(x1*x2*....xk)^[(k-1)/k]

这一点的证明中必须要求x1*x2*x3…xk≥1
请问该怎么证明x1*x2*x3…xk≥1

追答

这好证，假如它们都小于1
则x1+x2+...+xk>x1*x2*...*xk(因为小于1的数越乘越小)
与已知矛盾
因此其中至少有一个大于等于1
所以x1*x2*...*xk=x1+x2+...+xk≥1

Answer 2

如果k＝1，那么不等式为x1^(n-1) ≥ n。
取x1＝1，n＝5，这样1≥5，不等式不成立啊……