Question

已知过函数f(x)=x³+ax²+1的图像上一点B（1，b）的切线斜率为－3。

（1）求a,b的值 （2）求A的范围，使不等式f(X)≤A-1987，x∈【-1,4】恒成立

Answer 1

解：
(1)
f'(x)=3x²+2ax
x=1 f'(x)=-3代入
2a+3=-3
a=-3
f(x)=x³-3x²+1
x=1代入
f(x)=b=1-3+1=-1
a=-3 b=-1
(2)
f(x)≤A-1987
x³-3x²+1≤A-1987
x³-3x²+1988-A≤0
x²(x-3)≤A-1988
f'(x)=3x²-6x≤0
0≤x≤2
函数在[0，2]上单调递减，在[-1，0]上单调递增，在[2，4]上单调递增。要不等式对于x∈[-1，4]上恒成立，即函数取最大值时，仍有不等式成立。
考察函数的边界点和极值点：f(-1)=-3 f(0)=1 f(4)=17，当x=4时，f(x)取得最大值。
A-1988≥17
A≥2005