Question

已知正方形ABCD的边长为2，以BC边为直径作半圆O，P为DC上一动点（可与D重合但不与C重合），连结BP交半圆O

已知正方形ABCD的边长为2，以BC边为直径作半圆O，P为DC上一动点（可与D重合但不与C重合），连结BP交半圆O于点E，过点O作直线l‖CE交AB（或AD）于点Q.

（1）如图1，求证：△OBQ∽△PEC.

（2）设DP＝t（0≤t＜2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式.

Answer 1

(1)因为直径所对的圆周角为90°,∠PEC=90°=∠QBC，因为直线l‖CE交AB（或AD）于点Q.所以∠BOQ=∠BCE=∠BPC,故△OBQ∽△PEC.

（2）当0≤t≤1时 Q在AB上因为△OBQ∽△PBC.故QB：BC=BO：PC即QB:2=1:(2-t)   QB=2/(2-t)   故s=1/(2-t)

当1＜t＜2 Q在AD上 此时s表示梯形ABOQ面积 AQ＝t－1 s＝t

Answer 2

由题意知：BC是半圆O，E点在半圆O上，B、E、P 在同一直线上
所以 ∠CEB=90°=∠CEP
∠BCE=∠CPE (同角的余角相等)
又直线l‖CE交AB（或AD）于点Q.则：
∠BCE=∠BOQ
可知 ∠CPE =∠QOB
因此可知：RT△OBQ与RT△PEC中
∠BOQ=∠EPC
∠QOB=∠CPE
所以 △OBQ∽△PEC

Answer 3

（1）利用直径所对的圆周角为90°，通过两对角对应相等，证得△OBQ∽△PEC

（2）当0≤t≤1时 Q在AB上 证明△OBQ∽△PCB 得

当1＜t＜2 Q在AD上 此时s表示梯形ABOQ面积 AQ＝t－1 s＝t

（3）当Q在AD上（不含端点）上时，说明或推得OP≠OQ 同样说明或推得OP≠PQ 若OQ＝PQ 得t＝1 不合题意，舍去 ∴当Q落在AD（不含端点）上时，以O、P、Q为顶点的三角形不可能是等腰三角形