Question

关于小数点的数学作文、和一些数学知识

Answer 1

形式化本是数学科学的一个比较显著的特征，但是在中小学数学课程中如果过分追求形式化，就会走向问题的另一面：注意了概念表述“精确”（是否真正精确，还属未知之数），却忽视了其实质和实际的背景；强调了定义、定理的字斟句酌的推敲，却忽视了其发生、发展的过程和反映的基本事实和现象；强调了演绎推理的严密，却忽视了合情推理以及其他非形式化的思维（如直觉、联想、顿悟等）所具有的数学创造性。特别是难以达成“体会数学与自然及人类的密切关系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心”和“具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展” 的目标。①

其实，数学是通过人类活动――问题解决、推理、表示、交流、评价一起发展起来的，儿童从小就通过他们的日常生活中的经验逐步发展起相当复杂的关于数、式、形、数据和大小的非形式化思想。可以说，所有年龄的学生头脑中都存在着大量的非形式化知识。非形式数学有很多载体。在实践中，我发现“数学作文”以它特有的形式，不拘一格的选材要求，灵活的表达方式，能给学生提供一个广阔的数学舞台，能促进数学多元目标的实现。

尝 试 性 实 践（一）

于是，我利用 2003年布置寒假作业（四年级）的契机，给学生布置写一篇数学故事或一篇数学作文的任务。在指导时，我这样解释数学作文，“数学作文内容是结合本学期的学习内容及学习中遇到的问题。指对某一题（课本内外都可）的独特解法（要求比原解法简便并适用于同类题），或对数学学习的感悟，或在数学中的趣事、傻事。”。

看起来孩子们对这个作业的积极性都很高，寒假里就有学生陆陆续续以E-mail的方式发给我，要我帮着修改。寒假结束后我汇总了学生的数学故事和数学作文， 有几个孩子的作品写的还蛮有童趣的。我试着将两个学生的作品投到“上城教育信息港”的“校际交流”，居然很快被挂到网上。想想孩子们都花了不少心血，我又选择了一部分同学的作品，编了一份《数学作文报（寒假段）》，发到每个同学的手中。孩子们看着手上的，想着下次的，有的问：下次我写的还能登吗？有的问：为什么我的文章在报上找不到？……

在我分析学生上交的文章时，则发现了以下几个特点：

1、数学童话比较多。我在布置作业的时候并没有界定什么叫数学故事，但发给他们人手一篇我指导下一个学生事先写的数学故事《调皮的小括号》和《7和1》，是用拟人的形式写的，应该算是数学童话，结果交上来的几乎全是给了数字、符号以生命的数学童话和笑话。当然，给数学知识的载体――数字、符号等以生命，让他们自己来说明数学知识，是一个比较容易着手做的方法，所以学生乐于采用。

2、有相当一部分学生对数学故事、数学作文的理解、认识有偏差。有的学生将数学故事理解为：有数字的故事就是数学故事，有位同学将一个民间故事的主人公改名为小数点，然后用他自己的语言组织了一下就交了上来，以为就是数学故事。有的则认为跟数学课有关的作文，就是数学作文，有位同学将一节数学课的过程描述了一遍，就认为是数学作文。

根据学生的作业情况，我认识到：对学生而言，数学童话及数学故事是一回事，而数学作文则有点不知所谓。

究竟什么是数学童话、数学故事和数学作文呢？在查找了一些资料后，我发现，我国二十世纪七十年代后期起，以著名数学科普作家李毓佩为代表的一些数学研究者发表了为数不少数学科普作品如《奇妙的曲线》等，其中如《有理数和无理数之战》、《梦游0王国》等以生动活泼的童话形式来说明、表现数学知识或数学特点的童话故事，李老师自己称之为：数学童话、数学故事。与之同步的，在国外也有同类的作品（应该比我们更早），如美国有本特别著名的数学科普读物，叫《啊哈！灵机一动》，里面有个主人公叫奎贝尔教授，他老有些有趣的问题，并进行解决。中国在上世纪八十年代专对学生出版的报刊、杂志上也经常有类似的作品，往往以猪八戒和孙悟空、智慧老爷爷、小机灵等形象为主人公，进行闯关、游历等活动，在活动中会遇到一些有趣的数学问题，然后用有趣的方法去解决，目前的这种形式的作品还是经常可以找到。这些作品从严格意义上讲是数学科普作品，但也可以算数学故事或数学童话，因为这些作品的目的是为了让读者学到或了解一些数学知识。

而数学作文，我们也经常可以在一些儿童类报刊、杂志上看到，不过作者往往是成人，是针对某一个知识，对学生们进行分析、类比、归类等形式的讲解，以促进阅读者对该知识的了解为目的。

综合以上情况，我认为，数学作文首先从词性上理解，它是作文的一种，因而从体裁、修辞而言可以使用作文的一切手段，但内容必须是数学学习过程中的理解、感受、疑问、创新，以及对生活中事物、现象产生的数学联想或用数学方法进行解决的过程。而数学童话和数学故事可以作为数学作文的形式之一，就象童话和故事是小学作文中的一种。

尝 试 性 实 践（二）

基于以上认识，开学后，我开始系统地指导、要求学生来做数学作文，根据学生的实际情况，我首先把切入口放在了“数学作文写什么”这个问题上。

一 、数学作文写什么

前文已说过，数学作文首先是一篇作文，其体裁、修辞应该是语文课的工具性特征的体现，即怎么写数学作文不是数学课的任务，而写什么才是数学作文的核心问题。首先要做的是让学生在接受数学作文这个新的名词后，将之与一般作文分开，也就是学生交给数学老师的数学作文中，必须含有一般作文中没有的数学性。可以将整理出来的作文中典型的非数学作文和特征明确的数学童话作为范文分发给学生传阅，使学生在比较、分析、讨论中明确：数学作文的数学性来自文章中对数学知识的认识、发现、理解、感受、疑问、创造等，而不仅仅用数学名词代替普通作文中主人公的名字就是数学作文了，同理，如果一篇作文中的“数学”二字，用其它诸如“英语”、“常识”等代替，不会让读者不解，也不是数学作文。所以，要写好数学作文，就要做个有心人，时常留心课内外自己感兴趣的数学问题，留心自己在数学学习和数学实践活动中观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析、整理的过程，留心自己是怎么样去体验、发现、探究和创新的，并在数学作文中体现出来。

在经过这样的对比、交流之后，我布置了有兴趣的同学每月上交一篇的任务，上交的情况见下表：

3月（篇） 4月（篇） 5月（篇） 6月（篇）
1班（33人） 28 26 25 11
2班（34人） 18 23 20 3
小计 46 49 45 14
合计 154

从内容看，3月的内容，仍然较多对某一数学知识的介绍，或某一数学技巧的应用介绍，如《淘气的0》、《了不起的小数点》、《简算》（其实只介绍了一种加法交换率）等，4月的内容较集中在数学小论文，如《数黄豆》、《一千克黄豆有多少颗》、《螺母摆动实验》、《从我校到三台山有多远》。可见，通过一段时间的尝试，学生除了能写出有数学性的数学作文，而且内容范围逐步增多、思维上日益开拓。

其实从5月起，多数学生对数学作文的界定已明确，那么在课余玩的时间怎么吸引学生回到书桌边去写数学作文呢？

二、让学生感受自主的快乐

数学作文毕竟是学生课余的副业，学生如果不愿写，就是勉强写了交上来，质量肯定是无法保证的。所以，为了让孩子们乐意写，有必要采取以下措施：

1． 引导与放手相结合。

写数学作文的前提是摈弃对学生的限制和束缚（可能这是相对于普通作文的最大优势，普通作文毕竟有大纲的要求，而数学作文则没有），可以让学生自己拟题，自主选材，自定写法，想写什么就写什么，想怎么写就怎么写，长短不限、形式不论，放手让学生去自由表达，尽情发挥。在5月和6月，有些学生真的信手拈来皆佳文，内容涉及五花八门，如《实验报告――计算〈封神演义〉这本书估计字数与实际字数的相差数》、《“六?一”儿童节的花销》、《买衣服的数学问题》、《多余的条件》、《今天我当家》……等，情理兼备，而数学在文章中灵魂地位决不可憾；形式上童话、实验报告、顺口溜、记叙文等都有，学生创作的热情和能力让人惊叹不已。这充分说明数学确实能帮助孩子做到“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科科学中的问题，增强应用数学的意识”，而数学作文能让我们明明白白的看到数学的这个目标这些孩子已达到。

但有的学生对数学问题观察是不敏感、不仔细的，对这些同学要在平时注意引导、指引他们发现数学作文的题材，最好连写作形式也一起商议一下。平时课内某一环节学生的发言或表现特别精彩、对某一问题的争议特别大、创造性的解决了某一问题……诸如此类时，可以提一下：这可是数学作文的好题材。如《数黄豆的报告》、《有趣的计算题》、《数字和计算器的哭泣》、《要规律还是要计算器》……等都是学生上好课后有感而发；课外和同学相处，一旦遇到可以或必须用数学知识来解决的事，也要不遗余力提醒、帮助：这件事可以用什么数学知识解决、怎么解决、可以怎么在数学作文中表达出来。如《巧算总路程》、《到姐姐家去》、《算出发时间》、《这样合不合算》……等都是在和学生聊天、谈笑中发掘出来的。另外在每月第三个周末前提醒学生快到每月一次的数学作文收集时间的同时，虽然不命题、不定要求，但可以有意识提醒学生，本月数学课内的哪些课中的某个“花絮”、片段可以尝试用数学作文记录、学校或班级中的哪些活动中蕴涵数学问题，如《我说解方程》、《有趣的自然数》、《实验报告―― 单摆摆动的次数与物体的质量、摆线的长度的关系》……等都是“提醒”出来的。

学生在老师的指引下写出了数学作文，得到肯定后会大大激发他继续写的兴趣，而这个兴趣会使他有目标的进行下一篇，并渴望独立完成，这样就形成了从无到有，从有到多的良性发展过程。但这一过程着的放与扶的分寸一定要很注意。

2． 指导与自改相结合。

学生用了休息的时间，辛辛苦苦把数学作文写了出来，作为要求者一定要认真对待，这既是对学生劳动的尊重，也是对学生数学作文质量的肯定和鼓励。所以收到学生的数学作文后首先要做的是认真阅读，寻找“闪光点”：题材也好、写作手法也罢、篇幅长短也行，总之要找出好的地方充分肯定、大力褒扬，特别是对难得一写的同学，更要大张旗鼓的宣扬，以对得起学生的辛勤“笔耕”。当然适当的指导也是必不可少的，主要目的是进一步激发学生的思辨意识、扩大学生视野、提高学生思考层次，然后根据文后的评语和学生进行个别交流，在学生理解老师看法的基础上，协商对文章的修改，之后再让学生独立修改，如果还有问题就再协商再修改，力争让每一篇数学作文都能说清一个数学知识。当然这个过程会非常吃力，所以一般每月按这种方法重点指导6~4名学生，每次都应兼顾三个层面，这样一学期后差不多每个学生都应该有至少一篇象样的数学作文。其余就是要求学生根据老师的评语认真修改，然后和同学交流。

3． 展示与交流相结合。

学生的数学作文可以说是智慧与能力的结合，仅仅让老师欣赏当然不够，如果可让更多的人欣赏到他们的作品，可能会激发出他们更大写作欲望和热情。为此可以通过以下方法让学生的作品得到展示和交流。

（1）班内展示和交流

可通过让学生的数学作文有展示和交流的平台。

所有的数学作文都可以在墙报、板报上展示，并要求看的同学进行评价，既可以写在展示的稿件上，也可以直接去和作者交流，这个过程对看的和被看的都应该会有所提高。

部分有代表性的、具有典型意义的，以及有条件提供电子文本，可以由老师加上精心的评点后，整理后编成小报，印发到每个学生手中，让学生带回去和家长共同欣赏、品评，除了能让“上报”的学生得到家长的肯定，更希望能取得家长支持和帮助――在校外也能有人经常提醒学生关注数学的发现和应用。

也因为要让家长也一起参与，在每篇数学作文后老师的点评一定要精当，指明该文的特点、长处，便于家长了解。（文后附笔者编撰的1~5期的《数学作文报》）

（2）校内展示和交流

数学作文如果能在中、高年段都实行，不妨在各年级间进行展示和交流，高年级可借鉴低年级的童心、童趣，低年级则学习高年级的思维缜密和标新立异。形式仍可通过墙报、板报、自编小报等形式。（因为我在实践时只在四年级尝试，所以这是我对下一步工作的设想。不过，我将四年级的《数学作文报》发给我教的三年级思维训练班的学生看的）

（3）网上展示和交流

在网络已逐渐成为现代人生活的一部分的时候，既然有了电子文本，要在网上交流就是水到渠成的事了。现在杭州市很多学校有校内网，这当然是可以利用的资源；上城区的“上城教育信息港提供有校际交流的平台“学生的作品”栏目；很多的教育网站都开辟了“教育论坛”，在这些网站注册（一般都是免费的）成会员后，就可以将学生的作品展示出去，也可以学生自己注册为会员，自己关注自己的作品受欢迎程度，因为浏览过的读者有的会通过留言的方式提出自己的看法和意见，这对学生来说是非常具有挑战性、很刺激的一件事。

通过上述方式，一学期来大多数学生能每月顺利完成一篇数学作文，那么是不是一定要每人都每月一篇呢？

三、数学作文不是课业负担

作为教师决不能否认学生是有差异的，数学作文的内容、题材、篇幅再怎么不限，对于个别学生而言仍然是“不能完成的任务”。怎么办？因人而异。

数学作文不在数学教程内，所以一般不可以占用课内时间，应将之当作是一个课外作业来安排。对学有余力或有兴趣的同学，在每月能完成一篇的基础上，可以鼓励多写，想写多少就写多少，还可以去帮助不会写的同学写；对于不愿写的人，多和他交流，提示他可写的内容，告诉他写的方法，久而久之，可能他会想试一试，如果他试了，哪怕只有一句话，也要大力褒奖、鼓励――毕竟他完成的是额外的作业。

无论如何，不能让学生产生厌烦心理――“写了就是好的”是数学作文的永恒主题。

实 践 后 的 认 识

在一学期的时间里，对数学作文这种作业形式的探索过程中，笔者逐步产生了以下认识：

1． 关于数学作文的作用。

（1）有利于学生梳理、展示自己获取知识的思维过程，有利于学生归纳学习方法，总结学习规律。如《一千克黄豆大约有多少颗》，在写作过程就将估算的过程回顾整理了，而《我说解方程》则是在《方程初步》学完后的总结归纳。

（2）提供给学生自主探究的机会，给学生提供了发表独立见解的阵地，为培养学生的创新意识和实践能力创造了新的条件。如《“六?一”儿童节的花销》、《买衣服的数学问题》、《多余的条件》、《今天我当家》、《这样合不合算》……等都是学生自主研究、独立探索的成果。

（3）数学作文同时也改变了数学作业形式单一、内容单调的局面，有利于激发学生学习数学的兴趣。

（4）数学作文同时也为学生在今后的学习、工作中撰写科研论文奠定了基础。

曾在杨明明老师主编的《新概念作文》上看到过学生写的一篇文章，大意是惊异数学老师居然会要求四人小组为单位写千字左右（以上？）的调查报告，因为平时写 400字作文都是很痛苦的。其实别说小学生，就是高中生、大学生写调查报告、案例调查分析也是近几年的事，而新课程标准在中高年级有不是要求学生调查、分析的生活实践类内容，如果没有一定的铺垫、准备，这些内容是无法落实，更不可能深入的。所以在平时就有数学作文这样一个作业形式，在遇到需要写一些有学科特点的小课题时，学生不会感到无从着手，老师也不用为要不要保留这类教学内容患得患失。

实践证明，数学作文对于新课标多元化的教学目标能进行较好的体现――也许可以考虑它做为数学能力的一个评价标准。

2． 关于数学作文的几种主要类型。

（1）讲解介绍型。内容主要是对某一知识点特征的说明、介绍，目的是让没学过该知识的人能有初步的认识、了解，往往是初写数学作文者的首选。有是为避免枯乏味的数理说教，往往采用童话故事的形式，让可爱的小动物、数字、符号等形象来作说明者。当然要写好有一定难度。建议推荐学生看李毓佩教授的“数学故事丛书”包括《荒岛历险》、《奇妙的数王国》、《爱克斯探长》3 种，它们分别以历险小说、童话故事、侦探故事三种形式写成，实质都是对数学知识特点的说明介绍。

（2）回顾展示型。即对某知识学习过程或某次数学实践、活动过程的回忆、整理，目的是让读者在阅读之后也遇到同类问题时能应用成功经验并少走弯路。

（3）经验介绍型。即对掌握、理解特定知识或解决某种题型的特殊方法的经验总结。建议推荐学生看张景中院士的“院士数学讲座专辑”，包括《数学家的眼光》、《帮你学数学》、《新概念几何》3种。

（4）探索发现型。是对在学数学、用数学的过程中发现的数学问题的思考的阐述。包括两种：①在学习过程中发现的。②在生活中发现的。

（5）创新求变型。数学作文的最高层次、终极境界。内容不言而喻。

3． 关于数学作文还存在的一些问题。

（1）从内容看，学生对讲解介绍型、回顾展示型、经验介绍型的数学作文情有所钟，但对探索发现型、创新求变型似乎力有不遂，应该说对学生创新意识的培养还是任重而道远。

（2）从形式看，学生偏爱童话形式的数学作文，但模式感很强，往往就是借拟人化的数字、符号、图形等来说出自己想说的数学知识点，可是对情景的创设、语言的精炼、知识点介绍的到位等几方面全盘控制显得薄弱。

（3）从创作热情看，学生在写前5~10篇时，是最有激情的，那短时间他们对数学的学习和应用是非常留心的，时刻在找题材、想格式。但当板报也上了，网上也挂了，热情就有所下降，似乎功成名就，无法保持那种敏锐的观察力和激情的想象力。怎样让学生生成一种不断超越他人、超越自我的意识，成为让数学作文生生不息的关键。

（4）从教师指导情况看，因为数学作文不是课堂内的内容，从而使学生与老师、学生与学生的交流绝大多数只能以“点对点”的形式进行，“点对面”的可能性极小，从而效率相对低下，教师怎样选择相对固定的时间来进行全班性的交流、讲评成为难题。

（5）从学科整合角度看，数学作文可以说是语、数两门课程的天然交点，但由于课程设置的现状，目前数学作文还是数学老师单方面的热情。在指导学生的过程中，对写作手法、修辞的指导、要求多了，显得“捞过界”，不要求又不可能。同时对于学生来讲，作文是语文的必然要求，数学作文则纯属兴趣，当两者有冲突时，对学生而言是非常痛苦的事。所以怎样落实“学科整合”，提高语、数两门课程中关于数学作文的指导效率、减轻学生学业负担是需要对此有兴趣的老师、学校动脑筋的事。

新课标的实施，使老师们的教学内容、形式、过程都有了空前的发展、创造。数学作文作为一种新的作业形式，以其特有的作用价值日益为越来越多的老师所关注、重视，本文谨将笔者在实践中的一些所思、所得、所惑提供给广大老师和专家，但愿能起到抛砖引玉的作用。

Answer 2

小数是我国最早提出和使用的。早在3世纪，我国古代数学家刘徽在解决一个数学问题时就提出把整数个位以下无法标出名称的部分称为徽数。
小数的名称是13世纪我国元代数学家朱世杰提出的。在13世纪中叶我国出现了低一格表示小数的记法.
在西方,小数出现很晚，直到16世纪,法国数学家克拉维斯首先使用了小数作为整数部分与小数部分分界的记号。

虽然我国对小数的认识远远早于欧洲，但现代数学中所使用的小数的表示法却是从欧洲传入我国的。欧洲关于十进小数的最大贡献者是荷兰工程师斯蒂文(Simon Stevin，1548?1620)。他从制造利息表中体会到十进小数的优越性，因此他竭力主张把十进小数引进到整个算术运算中去，使十进小数有效地参与记数。不过，斯蒂文的小数记法并不高明，如139.654，他写作135⊙6①5②4③，每个数后面圈中的数是用来指明它前面数字位置的，这种表示方法，使小数的形式复杂化，并且给小数的运算带来很大的麻烦。1592年，瑞士数学家布尔基（Jobst Burgi）对此作出较大的改进。他用一空心小圆圈把整数部分和小数部分隔开，比如把36.548表示为36。548，这与现代的表示法已极为接近。大约过了一年，德国的克拉维斯，首先用黑点代替了小圆圈。他在1608年发表的《代数学》中，将他的这一做法公之于世，至此，小数的现代记法才被确立下来。追问我要被老师骂了、做得太简单了、而且文字太少........... 回答再帮你添加一点内容吧，这两个素材你可以适当的做一些整理。

小数点，数学符号，用于在十进制中隔开整数部分和小数部分。
小数点的由来
中国自古以来就使用十进位制计数法，一些实用的计量单位也采用十进制，所以很容易产生十进分数，即小数的概念。第一个将这一概念用文字表达出来的是魏晋时代的刘徽。他在计算圆周率的过程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽等7个单位；对于忽以下的更小单位则不再命名，而统称为“微数”。
到了宋、元时代，小数概念得到了进一步的普及和更明确的表示。杨辉《日用算法》(1262年)载有两斤换算 的口诀：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五”，即1/16＝0�0625；2/16＝0�125。 这里的“隔位”、“退位”已含有指示小数点位置的意义。秦九韶则将单位注在表示整数部分个位的筹码之下，例如： —Ⅲ—Ⅱ表示13.12寸 寸是世界上最早的小数表示法。
在欧洲和伊斯兰国家，古巴比伦的六十进制长期以来居于统治地位，一些经典科学著作都是采用六十进制，因此十进制小数的概念迟迟没有发展起来。15世纪中亚地区的阿尔卡西(?～1429)是中国以外第一个应用小数的人。欧洲数学家直到16世纪才开始考虑小数，其中较突出的是荷兰人斯蒂文(1548～1620)，他在《论十进制》(1583年)一书中明确表示法。例如把5.714记为：5◎7①1②4③或5,7'1''4'''。而第一个把小数表示成今日世界通用的形式的人是德国数学家克拉维斯(1537～1612)，他在《星盘》(1593年)一书中开始使用小数点作为整数部分与小数部分之间的分界符。
而中国比欧洲早采用了三百多年。
小数点尽管小，但是作用极大。我们时刻都不可忽略这个小小的符号。因为这个不起眼的差错，人类酿过一个又一个悲剧。正可谓“差之毫厘，谬以千里”。1967年，前苏联“联盟一号”坠毁事件，造成了不可挽回的损失。直接原因是在地面检查时,忽略了一个小数点……导致了数亿元财富的损失，人类还失去了一位太空英雄----科马洛夫的生命！ 追问虽然你的内容不错，我也看得懂，可是只能当天做啊......我都交了...算了吧!