Question

已知A,B,C是直线l上的不同三点，O是l外一点，向量OA,OB,OC满足 满足OA=(3/2(x^2)+1)*OB+[lnx-y]*OC

记y=f(x),求解析式
已知g(x)=lnx+[(3a+1)/2]x-(a/2),解关于x的不等式f(x)>g(x）

Answer 1

OB=OA+AB，OC=OA+AC
代入上式消去OB、OC化简得：(y-lnx-3x^2/2)OA=(3x^2/2+1)AB+(lnx-y)AC
因为A、B、C共线，所以等式右端的和向量必然在直线l上，而等式左端向量不在直线l上。
上式要成立，只有左端为零向量。故有
y-lnx-3x^2/2=0，所以y=f(x)=lnx+3x^2/2 (x>0)
f(x)-g(x)=(lnx+3x^2/2)-[lnx+(3a+1)x/2-a/2]=(3/2)*[x^2-(a+1/3)x+a/3]>0
不等式转化为解x^2-(a+1/3)x+a/3>0 (x>0)
令h(x)=x^2-(a+1/3)x+a/3，Δ=(a+1/3)^2-4a/3=(a-1/3)^2≥0恒成立
根据a取值不同，分以下情况进行讨论：
i)当a<1/3时，解集为{x|x<a或x>1/3}；
ii)当a≥1/3时，解集为{x|x<1/3或x>a}。