Question

椭圆方程怎么求

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点A(0,-1),若椭圆右焦点到直线x-y+2根号2=0的距离为3.(1)求椭圆的方程;（2）设直线l:y=x+m与（1）中的椭圆有两个不同的交点P,Q,且向量OP乘向量OQ=0，求实数m的值。请高手解答，，说的详细些谢谢

Answer 1

(1)设方程为x2/a2+y2/b2=1,因为焦点在x轴上，一个顶点A(0,-1),所以b=1,
右焦点F2(c,0)到直线x-y+2根号2=0的距离为3,则有|c-0+2√2|/√2=3,解得c=√2,
则a2=b2＋c2=3,所以椭圆方程为x2/3+y2=1
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),y1=x1+m,y2=x2+m
直线l:y=x+m代入x2/3+y2=1中，有4x2/3＋2mx+m2+1=0,
由韦达定理知，x1+x2=-3m/2,x1·x2=(3m2-3)/4①
由已知向量OP乘向量OQ=0，即x1·x2＋y1·y2=x1·x2+(x1+m)(x2+m)=2x1·x2+m(x1+x2)+m2=0②
将①式代入②中，解得，m2=3/2,则m=±√6/2

追问

b怎么是=1的？

追答

椭圆有四个顶点，当焦点在X轴时，两个在X轴，（a,0）(-a,0),
两个在Y轴，(0,b)(0,-b),书中有介绍的。
顶点A(0,-1)此点在y轴负半轴上，故b=1

追问

|c-0+2√2|/√2=3,解得c=√2那这条呢？ 看的不怎么清楚，最好能语言表达下

追答

右焦点F2的坐标是(c,0)，这点到直线x-y+2根号2=0的距离用点到直线的距离公式
如果设点的坐标是（x0,y0）,直线方程为Ax+By+C=0,
则距离公式为d=|Ax0+By0+C|/√（A2+B2），即把点的坐标代入直线方程，加上绝对值，除以根号下直线方程中X，Y的系数的平方和，回答完毕！~

追问

然后再问下 a b c 是什么关系

追答

a2=b2+c2这是椭圆的特征啊