Question

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|大于等于|m|（|x-1|-|2x+3|)恒成立，求实数x的取值范围。谢谢

答案是（-无穷，-3]并上[-1，+无穷)

Answer 1

m是任意非零实数，可将：|2m-1|+|1-m| ≥ |m|(|x-1|-|2x+3|) 两边同时除以|m|
得：|x-1|-|2x+3| ≤ |2-1/m|+|1/m-1|
分析 |2-1/m|+|1/m-1| 的最小值，根据绝对值的性质有：
|2-1/m|+|1/m-1| ≥ |2-1/m+1/m-1| = 1
那么只要满足|x-1|-|2x+3| ≤ 1，即可使得对任意非零实数m原不等式恒成立
解|x-1|-|2x+3| ≤ 1，考察两个点x = 1与x = -3/2：
当x≥1时，|x-1|-|2x+3| = (x-1)-(2x+3) = -x-4 ≤ -5 < 1 恒成立；
当-3/2≤x<1时，|x-1|-|2x+3| = (1-x)-(2x+3) = -3x-2 ≤ 1，解得x ≥ -1
当x<-3/2时，|x-1|-|2x+3| = (1-x)+(2x+3) = x+4 ≤ 1，解得x ≤ -3
综上可得：|x-1|-|2x+3| ≤ 1的解是x ≤ -3或x ≥ -1
即实数x的取值范围是x∈(-∞, -3]∪[-1, +∞)

Answer 2

|2m-1|+|1-m|>=|2m-1+1-m|>=|m|>=|m|（|x-1|-|2x+3|)
|x-1|-|2x+3|<=1即可