急求解高三数学题

已知O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=3,X+2Y=1.若向量AO=X倍的向量AB+Y倍的向量AC(XY不等于0),则COS角BAC=?求帮忙写下详细解题过程... 已知O是三角形ABC的外心,AB=2,AC=3,X+2Y=1.若向量AO=X倍的向量AB+Y倍的向量AC(XY不等于0),则COS角BAC=?求帮忙写下详细解题过程 展开
百度网友2d9d02242
2011-04-18 · TA获得超过565个赞
知道小有建树答主
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取 AC 中点 P,做AC的中垂线,则中垂线与AC的交点为P,外心O也在中垂线上。
则 AO = xAB+yAC = xAB + 2y AP,因为 x + 2y = 1,则,O,B,P三点共线(证明在后面)
因为OBP共线,所以,B在AC的中垂线上,所以三角形ABC为等腰三角形,AB=BC=2,且三角形ABP为直角三角形。
所以cosBAC = AP/AB = 1.5/2 = 3/4

三点共线的证明
另 2y = z, 则 x+ z = 1(x,z 不等于0)
AO = xAB + z AP = xAB + (1-x)AP = AP + x(AB - AP) = AP +xPB
=> AO-AP = xPB
=> PO = xPB
=> 因为 x 不等于0,z也不等于0 =>向量PB和向量PO 共线
=>又因为向量PB,PO共起点P,所以,P,B,O三点共线。

这个三点共线的时高考必会出现的。当做定理记住,选填题可以直接用,大题记得写证明过程。
当 OA = xOB+(1-x)OC (x不等于0)时,A,B,C三点共线。
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