Question

设z是虚数，w=z+1/z是实数， 且-1<w<21求|z|的值及z的实部的取值范围2设u=（1-z）/（1+z），求证u为纯虚数

第3问有点奇怪

Answer 1

1、设z=x+yi(x、y∈R，y≠0)，w=x+yi+1/(x+yi)=x+x/(x²+y²)+[y-y/(x²+y²)]i
由w是实数，得y-y/(x²+y²=0，由y≠0得x²+y²=1。
所以|z|=1。
于是w=2x，所以-1<2x<21，所以-1/2<x<1。即z的实部的取值范围是(-1/2，1)。
2、u=(1-z)/(1+z)=(1-x-yi)/(1+x+yi)=(1-x-yi)(1+x-yi)/(1+x+yi)(1+x-yi)=(1-x²-y²-2yi)/[(1+x)²+y²]=-2yi/(1+2x+x²+y²)=-yi/(1+x)。
因为y≠0，1+x>0，所以u为纯虚数。

Answer 2

设z=a+bi,(a,b∈R,b≠0)
w=z+1/z=a+bi+1/(a+bi)=a+a/(a^2+b^2)+[b-b/(a^2+b^2)]i∈R
b-b/(a^2+b^2)=0, b=b/(a^2+b^2),
b≠0, 1=1/(a^2+b^2), a^2+b^2=1,
1. |z|=√(a^2+b^2)=1
w=a+a/(a^2+b^2)=2a, -1<w<2, -1<2a<2, -1/2<a<1
z的实部取值范围(-1/2,1)
2. 由于|z|=1，设z=cosa+isina,
u=(1-z)/(1+z)=(1-cosa-isina)/(1+cosa+isina)
=(1-cosa-isina)(1+cosa-isina)/(1+cosa+isina)(1+cosa-isina)
=[(1-isina)^2-(cosa)^2]/[(1+cosa)^2+(sina)^2]
=-2isina/2(1+cosa)=-isina/(1+cosa)
所以u是纯虚数
3. z=cosa+isina, 1/z=cosa-isina, w=2cosa
w-u^2=2cosa+(sina)^2/(1+cosa)^2
=2cosa-(1-cosa)^2=-[(cosa)^2-4cosa+1]
=-(cosa-2)^2+3
-1/2<cosa<1
当cosa=-1/2时，w-u^2取得最小值-13/4
说明：题中-1<w<2 可能应为-1≤w≤2，否则没有最小值。