Question

已知抛物线方程为y^2=2px(p>0),直线l:x+y=m过抛物线的焦点F且抛物线截得的弦长为3。

(1)求p的值;
(2)是否存在点M,使过点M的斜率不为零的任意直线与抛物线相交于P、Q两点，并且以PQ为直径的圆恰好过抛物线的顶点？若存在，求出M点的坐标;若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)y=p/2-x代入y^2=2px得x^2-3px+p^2/4=0二根x1,x2,x1+x2=3p,x1+x2+p=4p=3,p=3/4 (2).存在M(3/2,0)PQ⊥x轴时M为PQ中点,POQ等腰直角PQ不⊥x轴时PQ斜率k,PQx=y/k+3/2代入y^2=3x/2得y方程根y1y2y1+y2,y1y2算kOP*kOQ=-1

Answer 2

1
y^2=2px,F(p/2,0)
l:x+y=m过F m=p/2
l交抛物线AB两点
(p/2-x)^2=2PX
x^2-3px+p^2/4=0
Ax+Bx=3p
|FA|=Ax+p/2
|FB|=Bx+p/2
|AB|=Ax+Bx+p=3
4p=3
p=3/4
y^2=3x/2
2

Answer 3

代入得x^2-(2m+2p)x+m^2=0
2√(4pm+m^2)=3
又p/2=m
得p＝3/4 m＝3/8
一言难尽