Question

几道高一数学题

1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：
1，依题意有：a1=2，1/a1=1/2
设数列{an}前n项和为Sn,依题意有：Sn=[4-(-2)^n]/3……(1)
故当n大于等于2时，有：S(n-1)=[4-(-2)^(n-1)]/3……(2)
又Sn-S(n-1)=an
所以（1）-（2）得：
an=(-2)^(n-1) (n大于等于2)
即：1/an=(-2)^(1-n) (n大于等于2)
设：1/a3，1/a5，……，1/a21为一组新数列{bn}
bn=a(2n+1)=(-2)^(-2n)=2^(-2n)=(1/4)^n
可知数列{bn}为首项为1/4，公比为1/4的等比数列，根据等比公式求和公式得：
b1+b2+b3+……+b10=(1/3)×(1-(1/4)^10)
故：1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21
=1/2+(b1+b2+b3+……+b10)
=1/2+(1/3)×(1-(1/4)^10)
2，
证明：
因为：an=S(n-1)+2……（1）
所以：a(n+1)=Sn+2……（2）且Sn-S(n-1)=an
所以（2）-（1），得：
a(n+1)-an=an，即：a(n+1)/an=2
故数列{an}是首项a1=2，公比q为2的等比数列得证。

所以：an=a1×q^(n-1)=2^n为所求。

Answer 2

(1)a1=2,1/a1=1/2,
n>1,an=[4-(-2)^n]/3-[4-(-2)^(n-1)]/3=(-2)^(n-1)，1/an=(-1/2)^(n-1)
1/a3,1/a5,…,1/a21为10个1/a3=1/4为首项的等比数列，q=1/4，再加上1/a1=1/2，即可
1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=1/2+[1-(1/4)^10]/3=5/6-[(1/4)^10]/3
(2)递推法，a1=2,a2=S(1)+2=a1+2=4,a3=8,
设an=2^n,Sn=2[(2^n)-1],
a(n-1)=Sn+2=2[(2^n)-1]+2=2*(2^n)=2^(n+1)成立。
所以，等比数列，an=2^n

Answer 3

1.Sn=[4-(-2)^n]/3,a1=2,an=Sn-S(n-1)=(-2)^(n-1),(n大于等于2)，
原式=1/2+1/4+1/16+……+1/（-2）^20=1/2+1/4*[(1-(1/4)^10)/(1-1/4)]约等于5/6
2.因an=S(n-1)+2(n>=2),两边加an，有2an=Sn+2=a（n+1）（n>=2），又a2=S1+2=a1+2=4=2a1，从而an是等比，且q=2，从而通项an=2^n