几道高一数学题
1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a...
1.数列{an}满足a1+a2+……+an=[4-(-2)^n]/3,n∈N*,则1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式 展开
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=S(n-1)+2(n>=2),a1=2证明数列{an}是等比数列,并求数列{an}的通项公式 展开
3个回答
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解:
1,依题意有:a1=2,1/a1=1/2
设数列{an}前n项和为Sn,依题意有:Sn=[4-(-2)^n]/3……(1)
故当n大于等于2时,有:S(n-1)=[4-(-2)^(n-1)]/3……(2)
又Sn-S(n-1)=an
所以(1)-(2)得:
an=(-2)^(n-1) (n大于等于2)
即:1/an=(-2)^(1-n) (n大于等于2)
设:1/a3,1/a5,……,1/a21为一组新数列{bn}
bn=a(2n+1)=(-2)^(-2n)=2^(-2n)=(1/4)^n
可知数列{bn}为首项为1/4,公比为1/4的等比数列,根据等比公式求和公式得:
b1+b2+b3+……+b10=(1/3)×(1-(1/4)^10)
故:1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21
=1/2+(b1+b2+b3+……+b10)
=1/2+(1/3)×(1-(1/4)^10)
2,
证明:
因为:an=S(n-1)+2……(1)
所以:a(n+1)=Sn+2……(2)且Sn-S(n-1)=an
所以(2)-(1),得:
a(n+1)-an=an,即:a(n+1)/an=2
故数列{an}是首项a1=2,公比q为2的等比数列得证。
所以:an=a1×q^(n-1)=2^n为所求。
1,依题意有:a1=2,1/a1=1/2
设数列{an}前n项和为Sn,依题意有:Sn=[4-(-2)^n]/3……(1)
故当n大于等于2时,有:S(n-1)=[4-(-2)^(n-1)]/3……(2)
又Sn-S(n-1)=an
所以(1)-(2)得:
an=(-2)^(n-1) (n大于等于2)
即:1/an=(-2)^(1-n) (n大于等于2)
设:1/a3,1/a5,……,1/a21为一组新数列{bn}
bn=a(2n+1)=(-2)^(-2n)=2^(-2n)=(1/4)^n
可知数列{bn}为首项为1/4,公比为1/4的等比数列,根据等比公式求和公式得:
b1+b2+b3+……+b10=(1/3)×(1-(1/4)^10)
故:1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21
=1/2+(b1+b2+b3+……+b10)
=1/2+(1/3)×(1-(1/4)^10)
2,
证明:
因为:an=S(n-1)+2……(1)
所以:a(n+1)=Sn+2……(2)且Sn-S(n-1)=an
所以(2)-(1),得:
a(n+1)-an=an,即:a(n+1)/an=2
故数列{an}是首项a1=2,公比q为2的等比数列得证。
所以:an=a1×q^(n-1)=2^n为所求。
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(1)a1=2,1/a1=1/2,
n>1,an=[4-(-2)^n]/3-[4-(-2)^(n-1)]/3=(-2)^(n-1),1/an=(-1/2)^(n-1)
1/a3,1/a5,…,1/a21为10个1/a3=1/4为首项的等比数列,q=1/4,再加上1/a1=1/2,即可
1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=1/2+[1-(1/4)^10]/3=5/6-[(1/4)^10]/3
(2)递推法,a1=2,a2=S(1)+2=a1+2=4,a3=8,
设an=2^n,Sn=2[(2^n)-1],
a(n-1)=Sn+2=2[(2^n)-1]+2=2*(2^n)=2^(n+1)成立。
所以,等比数列,an=2^n
n>1,an=[4-(-2)^n]/3-[4-(-2)^(n-1)]/3=(-2)^(n-1),1/an=(-1/2)^(n-1)
1/a3,1/a5,…,1/a21为10个1/a3=1/4为首项的等比数列,q=1/4,再加上1/a1=1/2,即可
1/a1+1/a3+1/a5+……1/a21=1/2+[1-(1/4)^10]/3=5/6-[(1/4)^10]/3
(2)递推法,a1=2,a2=S(1)+2=a1+2=4,a3=8,
设an=2^n,Sn=2[(2^n)-1],
a(n-1)=Sn+2=2[(2^n)-1]+2=2*(2^n)=2^(n+1)成立。
所以,等比数列,an=2^n
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1.Sn=[4-(-2)^n]/3,a1=2,an=Sn-S(n-1)=(-2)^(n-1),(n大于等于2),
原式=1/2+1/4+1/16+……+1/(-2)^20=1/2+1/4*[(1-(1/4)^10)/(1-1/4)]约等于5/6
2.因an=S(n-1)+2(n>=2),两边加an,有2an=Sn+2=a(n+1)(n>=2),又a2=S1+2=a1+2=4=2a1,从而an是等比,且q=2,从而通项an=2^n
原式=1/2+1/4+1/16+……+1/(-2)^20=1/2+1/4*[(1-(1/4)^10)/(1-1/4)]约等于5/6
2.因an=S(n-1)+2(n>=2),两边加an,有2an=Sn+2=a(n+1)(n>=2),又a2=S1+2=a1+2=4=2a1,从而an是等比,且q=2,从而通项an=2^n
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