Question

在极坐标系中,极点为O,已知P1(√3,0),P2(√3,π/2)

在极坐标系中,极点为O,已知P1(√3,0),P2(√3,π/2)，曲线C： ρ=√2.
求直线P1P2的极坐标方程
记直线P1P2与曲线C交于A,B两点，求∠AOB的大小

Answer 1

这两个点的坐标很特殊，所以可以转成平面直角坐标系后直接算出直线方程，再转成极坐标表示。对于第二问也是一样，曲线C是以原点为圆心，√2为半径的圆。坐标转换公式为：
已知点的直角坐标为（x,y），极坐标为（r,a）
计算公式：
r=√(x^2+y^2)
a= arctan(y/x)

不过这是很笨的做法，我一般不推荐，但是考试什么的遇到题目走投无路了可以尝试。。。

言归正传，关于此题。
极坐标里直线的方程为：ρ*cos(a-b)=d, ρ和a为变量，b和d为待定量。
（不知道你们课本里讲过推导过程没有，关键思路是不管在哪里原点到直线的距离d是不变的）
代入该直线经过的两点P1,P2,我们有
√3*cos(π/2-b)=d, 即是 √3*sin(b)=d
√3*cos(0-b)=d, 即是 √3*cos(b)=d
平方后相加，得到 2*d^2=3, 解得d=√6/2
代入回去解得 b=π/4
所以直线方程为ρ*cos(a-π/4)= √6/2

圆与直线交于两点A（r1,a1）, B(r2,a2)， a1<a2，
联立圆与直线的方程，有 √2*cos(a-π/4)= √6/2, 即是 cos(a-π/4)= √3/2
在合适的取值范围内求解(显然交点都在“第一象限”内，画个图就简单明了了)， 我们有 a-π/4=+π/6或-π/6，
所以，a2=π/6+π/4=5π/12, a1=-π/6+π/4=π/12
∠AOB=a2-a1=π/3