Question

急！初二数学三角形相似

如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF垂直EC交AB于F，连接FC（AB》AE）
设AB/BC=k是否存在这样的k值，使得△AEF相似于△BCF。若存在，证明你的结论，并求k. 要解释

Answer 1

（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠BCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件．
（2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：
当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的．
当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值．
解：（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G．
∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AEF=∠DCE=∠ECF．
∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．

（2）设AD=2x，AB=b，DG=AE=a，则FB=b-a，
在Rt△ECG中，x2=ab，
延长EF并与CB的延长线交于H，
假定△AEF∽△BFC，则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BFC，
于是： AFAE= BFBC，即 ax= b-a2x，得b=3a．
所以x2=ab=3a2，因此x= 3a，
于是k= AB/BC= b√2x= 3a√2/3a= √3/2．
抱歉根号打不出来，你参照一下其他楼的跟这个一起看吧

Answer 2

（2）
由（1）得
角EFC=角EFA
因为角EFC不是直角
所以角EFA不可能等于角FCB
若△AEF与△BFC相似
则角CFB=角EFC=角EFA=60度
设AF=a
BC=2AE=2√3a
FB=0.5FC=EF=2a
AB=3a
K=AB/BC=√3/2

Answer 3

要△AEF相似于△BCF，只需AF/AE=BF/BC,可转化只需BF=2AF,可设AF=1,BF=2,则AB=3，EF^2=AF^2+AE^2，EC^2=AE^2+AB^2，FC^2=4AE^2+BC^2,由EF^2+EC^2=FC^2可求得AE=根号3，则K=3/(2X根号3）