Question

求函数y=(x^2-x+1)/(x^2+x+1)的值域

把分母乘过去然后整理关于x的一个二次函数以y为参数
解是会解 但是逻辑关系搞不懂,为什么可以这样列式呢?请高手帮忙讲解下

Answer 1

求函数y的值域，也就是说对于任意的一个X都会有一个y与之对应。那么就可以把这个函数看成一个关于x的二次方程，而其中的y作为方程一个参数。整理后的方程为（y-1）x^2 +(y+1)x + y -1 = 0;因为y和x都是有值存在的，所以这个二次方程是一定有解的。因此求y的值域就可以转换为求满足上述方程有解的y的范围。这个范围就是y的值域了。
首先 当y= 1时，x = 0;有解。
当y ！= 1时,根据求根公式，要判断方程是否有解，只需要判断(b^2 - 4ac) / (2a) >= 0即可。
所以有(（y+1）^2 - 4(y-1)(y-1) ) / (2(y -1)) >= 0,
整理有：-（3y-1）(y-3) / (2(y-1) ) > =0;
即:：（3y-1）(y-3) / (2(y-1) ) <= 0;
可求出y的范围是： y <= 1/3 1<= y<= 3
即y的值域是 y<= 1/3 1<= y <= 3

Answer 2

y=(x^2-x+1)/(x^2+x+1) x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0
每一个实数x都对应一个y 相应的对这个y值作为参数的x的二次方程有实数解
(y-1)x^2+(y+1)x+(y-1)=0 判别式(y+1)^2-4(y-1)^2≥0
y≥3或y≤1/3这也是所求的值域

Answer 3

你可以这样理解，是整理出一个以x为未知数y为已知参数的一元二次方程，因为x∈R，说明方程必定有解，用二次方程求根的条件就可以求出y的范围，即得到原函数的值域。