Question

求函数y=根号(X^2+X+1)-根号(X^2-X+1)的值域

y=√[(x+1/2)²+(√3/2)²]-√[(x-1/2)²+(√3/2)²] 然后令p=(x+1/2,√3/2) q=(x-1/2,√3/2).则y=|p|-|q|.∵p-q=(1,0),∴|p-q|=1 为常数.∴||p|-|q||≤|p-q|=1,即|y|≤1.∴-1≤x≤1.但p与q不可能反向,∴所求函数值域为(-1,1)

得出|y|≤1为什么就能得到-1≤x≤1.还有1和-1为什么取不到

Answer 1

建议用初中的知识理解，

y=√[(x+1/2)²+(√3/2)²]-√[(x-1/2)²+(√3/2)²]

表示动点M(x，0)与定点A(-1/2,√3/2)和定点B(1/2,√3/2)的距离的差，
利用三角形的知识原来两边差的绝对值＜第三边
即/MA-MB/＜/AB/=1
即/y/＜1
即y属于(-1,1)

个人认为|y|≤1不能得到-1≤x≤1。此题x属于R。

追问

然而答案(-1,1)

Answer 2

∵2+x²≥2
∴根号（2+x²）≥根号2
设根号（2+x²）=z
（z≥根号2）
所以y=z+1/z
（z≥根号2）
（是对钩函数，可以画图象）
y≥3√2/2

应该是这样吧，其实我也不太确定

Answer 3

因为x的定义域为[-1，1]，可以在令x=cosa的的定义域为[0，π]，而sina在[0，π]中为非负值，故不用加绝对值

Answer 4

令x=sina
由题意得a属于[0，π](因为cosa必须>0)
则1-x^2=1-sin²a=cos²a
∴y=cosa+sina=√2sin(a+π/4)
则a+π/4属于[π/4,5π/4]
-√2<=sin(a+π/4)<=1
-1<=√2sin(a+π/4)<=√2
∴值域[-1,√2]
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