Question

如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=∠α，且DM交AC于F，ME交BC于G

连接FG，如果α=45° AB=4倍根号2 AF=3 求FG的长

Answer 1

FG=3分之5

在△MBG中，∠B=45 度

∴∠1+∠2=135 度

∵∠1+∠DME+∠3=180 度

∵∠DME=45 度

∴∠1+∠3=135 度

∴∠2=∠3

∵∠B=∠A

∴△AMF∽△BGM

∴ AM:BG=  AF:BM

∴BG=3分之8 

连接CM,根据等腰三角形的三线合一得；CM⊥AB

∴△AMC、△BMC为等腰直角三角形

∴AC=BC=4

∴CF=1,CG= 3分之4

在直角△CFG中，FG的平方 +CG 的平方=FG 的平方

∴FG= 3分之5

Answer 2

如图，已知M为AB的中点，∠A=∠B=∠DME=45°，AB=4√2 ，AF=3.
求FG的长。
解答：过M分别作MN⊥AC于N, MH⊥BC于H.
∵∠A=∠B=45° ∴∠ACB=90°，AC=BC.
∵M为AB的中点 ，MN∥BC,MH∥AC ∴N为AC的中点，H为BC的中点
∴四边形MNCH为正方形
在HB上截取HP=NF,则△MHP≌△MNF(将△MNF绕点M逆时针旋转90°，至△MHP位置).
∴ MP=MF ∠PMH=∠FMN
∵∠DME=45° ∴∠PMG=45°=∠FMG
∵MG=MG ∴ △PMG≌△FMG
∴PG=FG
∵PG=PH+GH=NF+GH
∴FG=NF+GH
∵AB=4√2 ∴AC=BC=4 ∴CN=CH=2
∵AF=3 ∴CF=1 ∴NF=1
设CG=x，则GH=2－x,所以FG=1+2－x=3－x.
在Rt△FCG中，由勾股定理得，x²＋1²=（3－x）²
解方程得x=4/3
∴FG=3－x=5/3.