Question

一道微积分中值定理的证明题，麻烦高手给出证明过程，万分感激

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证:
(1)存在n属于(1/2,1)，使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n)，使得f'(k)-[f(k)-k]=1;

Answer 1

这个我会的,呵呵
第一问不用说了, 简单可得
我主要说说第2问:
构造辅助函数 F(x)=f(x)-x-(0到x的变上限积分)[f(t)-t]dt
那么, 显然有, F(x)在[0,n]上连续, 在(0.n)内可导, 且
F(0)=0, F(n)=0, 根据 roll定理,
存在k, 使得F'(k)=0
一定是对的了~~~~~~~~~~~~给分哦!

Answer 2

这两问都不难，第一问可用罗尔定理做，第二问可用柯西定理做（把f(1 /2)代替1用进去），写起来太麻烦了，不然就给你写写。。。。

追问

第二问纠结了好久，可以写几部引导下吗？0_0 Thanks

Answer 3

令G(x)=f(x)-x。G(1)=f(1)-1=-1<0,G(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0.由零点定理可知，至少存在一点 n 属于（1/2,1）使得 G(n)=0,即 f(n)=n。
第二个问，
没推出来，唉~~老了

追问

第二个问我一点头绪都没- -!不知道如何构造辅助函数，谢谢您的帮忙