Question

求函数f(x)=|x-a|/(x^2-ax+1) 的最值(|a|<2)~~谢谢大家

Answer 1

X=a时，f(x)=0.

x>a时，
f(x)=|x-a|/(x^2-ax+1)
= (x-a)/(x^2-ax+1)
=(x-a)/[x(x-a)+1]……分子分母同除以(x-a)
=1/[x+1/(x-a)]
=1/[(x-a)+1/(x-a)+a]
根据基本不等式可知：(x-a)+1/(x-a)≥2，
所以f(x)=1/[(x-a)+1/(x-a)+a]≤1/(2+a).

X<a时，
f(x)=|x-a|/(x^2-ax+1)
= -( x - a)/(x^2-ax+1)
=-(x-a)/[x(x-a)+1]……分子分母同除以-(x-a)
=1/[-x+1/( a -x)]
=1/[( a -x)+1/( a -x)-a]
根据基本不等式可知： ( a -x)+1/( a -x)≥2，
所以f(x)= 1/[( a -x)+1/( a -x)-a] ≤1/(2-a).

综上可知：
-2<a<0时，函数最大值是1/(2+a).
0<a<2时，函数最大值是1/(2-a).
a=0时，函数最大值是1/2.