Question

已知函数f(x)=X²-2ax+a²+1(a∈R),求f(x)在x∈[-1,1]最值

Answer 1

f(x)=X²-2ax+a²+1=（x-a）²+1
①
当a＜-1的时候
当x=-1时取最小值，为（a+1）²+1
当x=1时取最大值，为（a-1）²+1
②
当x∈[-1,0]
当x=a时，取最小值为1
当=1时取最大值，为（a-1）²+1
③
当x∈[0,1]
当x=a时，取最小值为1
当=-1时取最大值，为（a+1）²+1
④
当a＞1的时候
当x=-1时取最大值，为（a+1）²+1
当x=1时取最小值，为（a-1）²+1

Answer 2

f(x)=x²-2ax+a²+1，是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
（1）若a≤-1，则f(x)在[-1，1]上是增函数，
所以最大值为f(1)=a²-2a+2，最小值为f(-1)=a²+2a+2；
（2）若-1
1，则f(x)在[-1，1]上是减函数，
所以最大值为f(-1)=a²+2a+2，最小值为f(1)=a²-2a+2。

Answer 3

函数图像开口向上
看对称轴
x=a
若a<=0
x取0时最小
f(0)=a-1
a=-1
若a>=1
x取1时最小
f(1)=-a
a=2
若0<a<1
x取a时最小
f(a)=-a^2
a-1=-2
a^2-a-1=0
a^2-a
1/4=5/4
(a-1/2)^2=5/4
a1=(1-√5)/2
a2=(1
√5)/2
a1
a2
均不在(0,1)范围内
都舍去
综上a为-1或2