Question

△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设向量AB=向量a，向量AC=向量b

（1）证明A、O、E三点在同一直线上，且AO/OE=BO/OF=CO/OD=2（用向量的方法）
(2)用向量a、b表示向量AO

Answer 1

因a,b不共线，故设向量AO=xa+yb,其中x,y为实数。
向量BF=BA+AF=-a+b/2,
BO=BA+AO=(x-1)a+yb,（*）
由BO‖BF得(x-1)/(-1)=y/(1/2),
∴x+2y=1,①
由CO‖CD得2x+y=1,②
由①②解得x=y=1/3,
∴AO=(a+b)/3.
易知AE=(a+b)/2=(3/2)AO,
∴A、O、E三点共线。
OE=AE-AO=AO/2，
由（*）式，BO=(-2/3)a+b/3=(2/3)BF,
∴OF=(1/3)BF=BO/2,
同理OD=CO/2，
∴AO/OE=BO/OF=CO/OD=2。