Question

已知数列an中，a1=1，且点P(an,an+1),在直线X-Y+1=0上，

设b(n)=1/a(n),Sn表示数列{bn}的前n项和,试问:是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=[（Sn）-1]*g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由。

Answer 1

1、点坐标代入得：an-a（n+1）+1=0，a（n+1）=an+1，即an是等差数列，a1=1，d=1，an=n；
2、bn=1/an=1/n；
sn=1+1/2+1/3+…+1/n，
S1+S2+S3+…+Sn-1=1+（1+1/2）+（1+1/2+1/3）+…+（1+1/2+1/3+…+1/（n-1)）
=（n-1)+(n-2)/2+(n-3)/3+…+1/（n-1)
=(n/1-1)+(n/2-1)+(n/3-1)+…+(n/(n-1)-1)
=n(1/1+1/2+1/3+…+1/(n-1))-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]+n-1-(n-1)
=n[1/2+1/3+1/4+…+1/(n-1)+1/n]
=n[(sn)-1]=g(n)；
所以，g（n）=n，解析式存在