Question

如图 AB是圆O的直径 BC⊥AB于点B，连接OC交圆O于点E，弦AD平行于OC，弦DF⊥AB于点c

1
求证点E是BD弧的中线
2求证 CD是圆O的切线
3
若sin∠BAD=五分之四，圆O的半径为5 求DF的长

Answer 1

1

连接DB，DO。

∵AB为直径，∴∠ADB＝90

∴AD⊥BD

∵AD‖OC

∴OC⊥BD

又∵OD＝OB

∴OC为等腰△ODB的BD边垂直平分线

∴∠COB=∠COD

∴E 为弧DB的中点

2、在△COB和△COD中

OD=OB

CO=CO

∠COB=∠COD

∴△COB∽△COD

∴∠CDO=∠CBO=90

∴CD⊥OD   即CD为圆O的切线

3、SIN∠BAD=BD/AB=4/5

   AB=10

   BD=8

由勾股定理得：AD＝6

∵DG⊥AB

∴AD•BD＝AB•DG (等面积法)

∴DG＝24/5

∴DF=2DG=48/5

Answer 2

（1）证明：连接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；（1分）
∵∠A=12∠BOD，
∴∠BOC=12∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴DE=
BE，
则点E是BD

 

的中点；（2分）

（2）证明：如图所示：

由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分）
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；（2分）
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切线；（3分）

（3）解：在△ADG中，∵sinA=DGAD=
45，
设DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；（1分）
又∵⊙O的半径为5，
∴OG=5-3x；
∵OD2=DG2+OG2，
∴52=（4x）2+（5-3x）2；（2分）
∴x1=65，x2=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×65=
485（3分）．

Answer 3

初中的概念 基本忘光了 首先你要知道

角DAB(圆周角)是弧DB的圆心角的一半

AD和OC平行 则角DAB和角COB 相等 角COB 是圆弧EB所对应的角 即圆心角

也就是说BD弧的圆心角是EB弧的圆心角的两倍 由此可证DB弧长是EB弧长的两倍

由此可证第一条

因为点E是DB弧的中点 连接OD 角EOD和角COB 相等 OD和OC同为圆O的半径 CO为公共边

三角形COD和三角形BOC全等 BC垂直于AB 那OD垂直于CD

sin∠BAD=五分之四，圆O的半径为5 连接BD AB为直径 AD垂直于BD BD=4 AD=3

DF为圆的一条弦 AB为直径 则 DG垂直于AB 点G 也将平分DF

AD=3 sin∠BAD=五分之四 在三角形ADG中 DG=2.4 DF=2.8

Answer 4

（1）证明：连接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；（1分）
∵∠A=12∠BOD，
∴∠BOC=12∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴DB=2
BE；
∴DE=
BE，
则点E是BD的中点；（2分）

（2）证明：如图所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分）
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；（2分）
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切线；（3分）

（3）解：在△ADG中，∵sinA=DGAD=
45，
设DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；（1分）
又∵⊙O的半径为5，
∴OG=5-3x；
∵OD2=DG2+OG2，
∴52=（4x）2+（5-3x）2；（2分）
∴x1=65，x2=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×65=
485（3分）．

Answer 5

正解。