Question

初一数学竞赛题

1、已知整数a,b,c使等式（x+a）(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)对任意的x均成立，则c的值为？
2、如图在三角形ABC中，角ACB=90度，DA⊥AB,且DA=AB,过B作BE⊥DC交其延长线于点E，过A作FA⊥AC交EB的延长线于点F，连接CF
试说明：FC平分角ACB

Answer 1

第一题：因为x取任意值都成立，所以令先x=10，消去c,得：（10+a)(10+b)=-11
因为a,b都是整数，所以10+a,10+b也都是整数，所以10+a,10+b为-11的约数。这里a，b地位相同，故只需要考虑2种情况：10+a=-1,10+b=11; 10+a=1,10+b=-11.
所以a=-11,b=1 或a=-9,b=-21.
再令x=0,这样多项式计算就变成单项式计算，原式为ab-10c=-11.
把a=-11,b=1 代入上式得：c=0
把a=-9,b=-21代入上式得：c=20.
所以c=0或c=20
第二题：只需要证明△DAC≌△FAB，然后得到AC=AF。就可以证到∠ACF=1/2∠ACB=45°
过程如下：延长AB,DE相交于G。
∵∠D+∠G=90°,∠EBG+∠G=90° ∴ ∠D=∠EBG
∵∠EBG= ∠ABF（对顶角相等） ∴ ∠D=∠ABF
∵∠DAB=∠CAF=90° ∴ ∠DAC=∠BAF
∵AD=AB ∴△DAC≌△FAB（ASA）
∴AC=AF ∵∠CAF=90° 。∴∠ACF=1/2∠AFC=45°
∴CF平分∠ACB

Answer 2

解：已知(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)
得x^2+(a+b+c)x+ab-10c=x^2-10x-11
得(a+b+c+10)x=10c-ab-11
因为等式对任意x成立,所以x的对应系数相等
a+b+c+10=0
10c-ab-11=0
即
a+b=-10-c
ab=10c-11
所以a,b为方程x^2+(10+c)x+(10-11)=0的两整数解
所以判别式△=(10+c)^2-4(10c-11)=(c-10)^2+44 为完全平方数
不妨设(c-10)^2+44=d ^2且d>0则d^2-(c-10)^2=44
即(d+c-10)(d-c+10)=1×44=2×22=4×11
因为c和d都是整数，故得十二组方程组
d+c-10=44，d-c+10=1或者d+c-10=22，d-c+10=2或者d+c-10=11，d-c+10=4
d+c-10=1，d-c+10=44或者d+c-10=2，d-c+10=22或者d+c-10=4，d-c+10=11
d+c-10=-44，d-c+10=-1或者d+c-10=-22，d-c+10=-2或者d+c-10=-11，d-c+10=-4
d+c-10=-1，d-c+10=-44或者d+c-10=-2，d-c+10=-22或者d+c-10=-4，d-c+10=-11
解得整数解为c=20,d=12或者c=0，d=12
故得所有满足题意的C值为c=0或者c=20

追问

那能做一下第二题吗？
图已经上传好了

Answer 3

1.化简 x^2+(a+b+c)x+ab-10c=x^2-10x-11
所以，a+b+c=-10，ab=-11，且a，b为整数，得到
a=-11，b=1,c=0或a=1,b=-11,c=0或a=11,b=-1,c=-20或，a=-1,b=11,c=-20
2题没有图啊

追问

第二题的图已上传

Answer 4

解：已知(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)
得x^2+(a+b+c)x+ab-10c=x^2-10x-11
得(a+b+c+10)x=10c-ab-11
因为等式对任意x成立,所以x的对应系数相等
a+b+c+10=0
10c-ab-11=0
即
a+b=-10-c
ab=10c-11
所以a,b为方程x^2+(10+c)x+(10-11)=0的两整数解
所以判别式△=(10+c)^2-4(10c-11)=(c-10)^2+44 为完全平方数
不妨设(c-10)^2+44=d ^2且d>0则d^2-(c-10)^2=44
即(d+c-10)(d-c+10)=1×44=2×22=4×11
因为c和d都是整数，故得十二组方程组
d+c-10=44，d-c+10=1或者d+c-10=22，d-c+10=2或者d+c-10=11，d-c+10=4
d+c-10=1，d-c+10=44或者d+c-10=2，d-c+10=22或者d+c-10=4，d-c+10=11
d+c-10=-44，d-c+10=-1或者d+c-10=-22，d-c+10=-2或者d+c-10=-11，d-c+10=-4
d+c-10=-1，d-c+10=-44或者d+c-10=-2，d-c+10=-22或者d+c-10=-4，d-c+10=-11
解得整数解为c=20,d=12或者c=0，d=12