Question

η0是非齐次线性方程组Ax=B的特解ξ1，ξ2...ξn-r是导出组Ax=0的基础解系 证η0，ξ1，ξ2..ξn-r线性无

设η0是非齐次线性方程组Ax=B的一个特解, ξ1，ξ2......ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证η0，ξ1，ξ2......ξn-r线性无关

Answer 1

显然题目已知，ξ1，ξ2......ξn-r线性无关
下面我们首先假设η0，ξ1，ξ2......ξn-r线性相关，因此
η0=k1*ξ1+k2*ξ2+k3*ξ3+。。。。。+kn*ξn-r
两边同时乘以A，那么
Aη0=k1*Aξ1+k2*Aξ2+...........kn*Aξn-r (1)
而题目中已知，ξ1，ξ2......ξn-r是其导出组Ax=0的一个基础解系
所以，Aξ1=Aξ2=........=Aξn-r=0
那么我们可以知道等式(1)的右边为0
而等式（1）的左边Aη0=B不等于0
所以推出矛盾，假设不成立，即η0，ξ1，ξ2......ξn-r线性无关

不知你是否明白了，祝你学习愉快O(∩_∩)O！

Answer 2

ξ1，ξ2...ξn-r线性无关(基础解系的性质)
η0不能被ξ1，ξ2...ξn-r线性表示,否则η0就是导出组Ax=0的解,与η0是非齐次线性方程组Ax=B的特解矛盾.
如果η0，ξ1，ξ2..ξn-r线性相关,则存在不全为0的数a0,a1,a2,....an-r使得:
a0*η0+a1*ξ1+a2*ξ2+....+an-r*ξn-r=0
a0≠0否则ξ1，ξ2...ξn-r线性相关
那么η0能被ξ1，ξ2...ξn-r线性表示;与上面结论矛盾
所以η0，ξ1，ξ2..ξn-r线性无关