如图,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)求证 sinα+sin^2β
如图,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)求证sinα+sin^2β.(2)若AC=根号3DC,求β的值...
如图,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)求证 sinα+sin^2β.(2)若AC=根号3DC,求β的值
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(1)证明:如题图,因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,
所以sinα=sin(2β-)=-cos2β,
即sinα+cos2β=0.
(2)解:在△ADC中,由正弦定理得,即.所以sinβ=sinα.
由(1),sinα=-cos2β,所以sinβ=-cos2β=- (1-2sin2β),
即2sin2β-sinβ-=0.
解得sinβ=或sinβ=-.
因为0<β<,所以sinβ=.从而β=.
http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/209439/
所以sinα=sin(2β-)=-cos2β,
即sinα+cos2β=0.
(2)解:在△ADC中,由正弦定理得,即.所以sinβ=sinα.
由(1),sinα=-cos2β,所以sinβ=-cos2β=- (1-2sin2β),
即2sin2β-sinβ-=0.
解得sinβ=或sinβ=-.
因为0<β<,所以sinβ=.从而β=.
http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/209439/
参考资料: http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/209439/
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因为AB=AD
所以∠ABC=∠ADB=β
∠ABC+∠ADB+∠DAB=180°
即2β+∠DAB=180°-------1
又因为是Rt△ABC
所以∠CAD+∠DAB=90°
即α+∠DAB=90 --------2
用1-2可得到
2β-α=90°
可得 2β=90°+α
sin2β=sin(90°+α)=cosα
sin2β-cosα=0
才疏学浅 只能算到这里。
所以∠ABC=∠ADB=β
∠ABC+∠ADB+∠DAB=180°
即2β+∠DAB=180°-------1
又因为是Rt△ABC
所以∠CAD+∠DAB=90°
即α+∠DAB=90 --------2
用1-2可得到
2β-α=90°
可得 2β=90°+α
sin2β=sin(90°+α)=cosα
sin2β-cosα=0
才疏学浅 只能算到这里。
参考资料: yfsupc
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