abc正数，求证a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c
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因为a，b，c是正数，所以 a²/b+b²/c+c²/a=(a²/b+b)+(b²/c+c)+(c²/a+a)-a-b-c
>=2根号(a²/b*b)+2根号(b²/c*c)+2根号(c²/a*a)-a-b-c=2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c
>=2根号(a²/b*b)+2根号(b²/c*c)+2根号(c²/a*a)-a-b-c=2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c
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运用柯西不等式
（a2/b+b2/c+c2/a）×（a+b+c）
》(a+b+c)2
所以a2/b+b2/c+c2/a≥a+b+c
（a2/b+b2/c+c2/a）×（a+b+c）
》(a+b+c)2
所以a2/b+b2/c+c2/a≥a+b+c
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(a²/b＋b²/c＋c²/a)(b＋c＋a)
≥[√(a²/b·b)＋√(b²/c·c)＋√(c²/a·a)]^2
＝(a＋b＋c)^2
∴a²/b＋b²/c＋c²/a≥a＋b＋c
≥[√(a²/b·b)＋√(b²/c·c)＋√(c²/a·a)]^2
＝(a＋b＋c)^2
∴a²/b＋b²/c＋c²/a≥a＋b＋c
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a²/b+b²/c+c²/a
=a²/b+b+b²/c+c+c²/a+a-(a+b+c)
≥2a+2b+2c-(a+b+c)
=a+b+c
=a²/b+b+b²/c+c+c²/a+a-(a+b+c)
≥2a+2b+2c-(a+b+c)
=a+b+c
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