Question

数学必修一 函数题目

1. 已知二次函数的顶点坐标为（1，-2）且过点(2.-4)则f（X)=

要详细过程

2.若函数f(x)=（a-2）X^2+2X-4的图像恒定在X轴的下方，则a的取值范围

要思路 还有 恒定是什么意思

Answer 1

1.
解：
设二次函数f(x) = ax^2+bx+c;
因为顶点坐标为(1,-2)，所以得到两点信息：
对称轴， -b/2a=1 ----------------(1)
图像经过(1,-2),即 a+b+c = -2 ----------------(2)
由题意知，图像经过点(2,-4)，所以代入，得到
4a+2b+c = -4 ----------------(3)
综合以上三式得到：a = -2,b=4,c=-4
即f(x) = -2x^2 + 4x-4;
2.
先解释什么为恒定，“恒定”的意思是指，无论自变量x取何值，函数f(x)的值都是什么状态;
题意中的“恒定在X轴下方”是指，函数值永远小于0，也就是说，函数的最大值小于0。
解：
由题意可知，
函数值永远小于0，根据二次函数图像的特征可知，
函数图像开口向下，即a-2 < 0 -------------(1)
函数的最大值小于0，即4(a-2)(-4)-4/4(a-2)<0 -------------(2)
由(1),得 a< 2, 由(2)得a<7/4.
根据不等式的性质，所以a的取值范围为a<7/4 。

追问

图像经过(1,-2),即 为什么得到 a+b+c = -2

Answer 2

（1）设函数为f（x）=ax²+bx+c
-b/2a=1
（4ac-b²）/4a=-2
-4=4a+2b+c
求得a=-2 b=4 c=-4
f（x）=-2x²+4x-4
（2）
二次函数恒定在x轴下方 意思就是开口向下 且f（x）的最大值＜0
a-2＜0
【4（a-2）*（-4）-2²】/4（a-2）＜0
求得a＜7/4

Answer 3

设f（X)=ax^2+bx+c 因为顶点为（1，-2）所以-b/2a=1 a+b+c=-2
又过点(2.-4) 所以 4a+2b+c=-4 解得a=-2 b=4 c=-4
(2)f(x)=（a-2）X^2+2X-4恒定在X轴下方，就是f(x)=（a-2）X^2+2X-4的值恒小于零
那么有a-2小于等于0 但是a=2时f(x)=2X-4可以大于零，固a不等于2
注意一下这里题目并没说f(x)是二次函数，一定要对（a-2）是否为0讨论下，否则绝对会扣分
当a<2时，判别式b^2-4ac<0即可
有4+16（a-2)<0 a<7/4