Question

高中数学必修一函数题

已知函数f(x)=ax+b除以1-x²是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(½）=三分之二
一：确定函数f(x)的解析式
二：用定义证明f(x)在（-1,1）上是增函数
三：解不等式f(t-1)+f(t)<0
第一题我会 第二题怎么也证明不出来 请数学高手们帮帮小弟 谢谢啦！
请详细地写出第二题是如何证明出来的 谢谢啦！

Answer 1

一，函数解析式为 f(x) = x/(1-x^2)。原来你会啊……白写过程了。
二，（一定要搞清楚，怎样才叫“用定义证明”。）
要“用定义证明”f 在（-1,1）上是“增”函数，需要比较（-1,1）上的“任意”两个不相等的“自变量”的“函数值”大小，需要证明：自变量大，则函数值也大。
几个关键点翻译成数学语言：
“任意”两个不相等的“自变量”：x1，x2属于（-1,1），且x1小于x2
比较“函数值”大小：f（x1）- f（x2）= x1/（1-x1^2）- x2/（1-x2^2）
“自变量大，则函数值也大”：f（x1）- f（x2）< 0
现在的关键是，怎么从f（x1）- f（x2）= x1/（1-x1^2）- x2/（1-x2^2）得到f（x1）- f（x2）< 0
显然，首先得通分。f（x1）- f（x2）= x1/（1-x1^2）- x2/（1-x2^2）
=(x1 - x1*x2^2 - x2 + x1^2*x2）/ (1-x1^2)*（1-x2^2）
这时，先判断一下分母的正负。很显然，分母是大于零的。那么，只需要证明分子小于0了。这个时候，就要会进行因式分解了。
x1 - x1*x2^2 - x2 + x1^2*x2 = (x1 - x2) * ( 1 + x1 * x2) 不难证明这是小于零的。
现在，能自己把证明过程写出来了吗？
三，有简便的解法，这种解法要求对奇函数、增函数的概念和性质有较为深刻的认识，也要求你审题时要敢往简单解法上想、要使劲往“奇函数”、“增函数”这两个知识点上面想。
f(t-1)+f(t)<0 等价于 f(t-1) < - f ( t )
（“奇函数”）等价于 f(t-1) < f ( - t )
（“增函数”，剥去 f 这个外套） 等价于 t - 1 < - t ，且 t -1 和 t 在函数 f 的定义域内
即： t < 1/2, 且 0< t <1
亦即：0< t <1/2}

Answer 2

《一》因为是奇函数，所以f（0）=0，即求的b=0
《二》因为f（1/2）=2/3。即a*1/2*4/3=2/3。所以a=1。解析式为f（x）=x/（1-x²）
设-1<x1<x2<1。则，f（x2）—f（x1）=x2/(1-x2*x2)—x1/(1-x1*x1)=(x1*x2+1)*(x2-x1)/[(1-x2)(1-x1)>0。所以f（x2）>f(x1)。即证，为单调增。
《三》因为是奇函数。即f（-x）=-f（x）。所以f（t-1）+f（t）<0得f（t-1）<f(-t).又因为是增函数。所以t-1<-t。得t<1/2。又因为定义域得-1<t-1<1。且-1<t<1，综合得0<t<1/2。
希望能帮到你，不懂的再问