Question

已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论

Answer 1

1.
S1+a1=2*1+1,2a1=3,a1=3/2=2-1/2
a1+a2+a2=2*2+1,a2=7/4=2-1/2²
a1+a2+a3+a3=2*3+1,a3=15/8=2-1/2³

an=2-1/2^n

2.
证明:n=1时成立
n=k时也成立,即
ak=2-1/2^k
Sk=2k+1-ak
n=k+1时
S(k+1)+a(k+1)=2(k+1)+1=2k+3
Sk+a(k+1)+a(k+1)=2k+3
2k+1-ak+2a(k+1)=2k+3
2k+1-2+1/2^k+2a(k+1)=2k+3
1/2^k+2a(k+1)=4
a(k+1)=2-1/2^(k+1)
n=k+1时也成立,得证

Answer 2

S1+a1=2*a1=3
a1=3/2

n>=2时
Sn+an=2n+1
S(n-1)+a(n-1)=2n-1

2an=a(n-1)+2
2(an-2)=a(n-1)-2

a1-2=-1/2

an-2=-1/2^n
an=2-1/2^n

Answer 3

1) a1=3/2 a2=7/4 a3=15/8 an=[2^(n+1)-1]/2^n=2 -1/2^n
2)n=1 略
假设n=k时ak=2-1/2^n成立 且Sk=2k+1-ak成立
那么n=k+1时，S(k+1)+a(k+1)=2(k+1)+1=Sk+a(k+1)+a(k+1)
a(k+1)=[2(k+1)+1-Sk]/2=(2k+3-2k-1+ak)/2=2-2^(k+1)
略

Answer 4

n=1,2,3分别代入Sn+an=2n+1，得a1=3/2,a2=7/4,a3=15/8,猜测an=2-1/2^n。证明一下