Question

急！已知实数a,b满足b>a>e,其中e为自然对数的底数，求证a^b>b^a

Answer 1

设一个函数f(x)=x/lnx.
可以证明得当x>e时,f'(x)>1.
即f(x)在x>e上递增。
又因为b>a>e,所以f(b)>f(a).
即b/lnb>a/lna
=>ln(a^b)>ln(b^a)
=>a^b>b^a
证毕

Answer 2

设f（x）=x/lnx
求导，得 f '（x）=(lnx-1)/(lnx)^2
若x>e 则 lnx >1 则f '（x）>0
所以 x>e时 f（x）单调递增
所以b>a>e时 b/lnb>a/lna 即a^b>b^a

Answer 3

f(x)=lnx/x (x>e)f'(x)=(1/x * lnx)'=lnx*(-1/x^2)+1/x * 1/x=-(lnx-1)/x^2当x>e 时，lnx>1 f'(x)<0 即x>e时，f(x)减函数。所以b>a>e，f(b)<f(a) => lnb/b<lna/a
alnb<blna => ln(b^a)<ln(a^b) => a^b>b^a