Question

等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2则三角形ABC周长的最大值

Answer 1

解：
假设等腰三角形ABC的腰长为2x，则其周长y=4x+BC
又余弦定理得
AC²=2²+x²-4xcos∠ADC (1)
BC²=2²+x²-4xcos∠BDC (2)
又cos∠ADC=-cos∠BDC
(1)+(2)得
4x²+BC²=8+2x²
得到BC=√(8-2x²)
所以y=4x+√(8-2x²)
y=8(x/2)+√(8-2x²)≤√{9[8(x/2)²+(8-2x²)]}=6√2
x/2=√(8-2x²)，即x=(4√2)/3时等号成立
所以，等腰三角形ABC的最大周长是6√2

Answer 2

线性规划
设AB=AC=2x，BC=y，已知CD=2，三角形ABC周长z=4x+y，
由三角形三边关系可知
3x>2
x<2
x+y>2
x-y<2
4x>y
x>0
y>0
在直角坐标系中做出可行域，对于目标函数z=4x+y来说，z在（2,8）处取到最大值16

Answer 3

余弦定理 的确不错 这道题还可以用柯西不等式
设AD=DB=x,AC=2x,BC=y
则求y+4x的最大值
因为CD是中线
所以CD^2=1/2(2x)^2+1/2y^2-1/4(2x)^2
(y+4x)^2≤(y^2+2x^2)(1+8)
而CD^2=x^2+y^2/2
所以8=2x^2+y^2
所以y+4x≤√(9*8)=6√2